Рассмотрим неравенство:

\[
\log_5{x} + 3(2x^2) \leq 1
\]

Решим это неравенство по шагам:

### 1. Перепишем неравенство:
\[
\log_5{x} + 6x^2 \leq 1
\]

### 2. Перенесем \(6x^2\) на правую сторону:
\[
\log_5{x} \leq 1 - 6x^2
\]

### 3. Рассмотрим область определения:
\[
\log_5{x} \text{ определен, когда } x > 0
\]

### 4. Условие \( \log_5{x} \leq 1 - 6x^2 \):
Заметим, что правая часть неравенства является квадратичной функцией, которая убывает и принимает значения от \(1\) (при \(x = 0\)) до \(-\infty\) (при \(x \rightarrow \infty\)). Поскольку логарифм всегда положителен при \(x > 1\) и отрицателен при \(0 < x < 1\), нам нужно найти, при каких значениях \(x\) выполняется неравенство.

### 5. Решение неравенства:

Рассмотрим случаи:

#### Случай 1: \(x \geq 1\)
Для \(x \geq 1\), \( \log_5{x} \geq 0\). Следовательно:
\[
0 \leq 1 - 6x^2
\]
\[
6x^2 \leq 1
\]
\[
x^2 \leq \frac{1}{6}
\]
\[
x \leq \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.408
\]

Так как \(x \geq 1\) противоречит условию \(x \leq 0.408\), для \(x \geq 1\) решений нет.

#### Случай 2: \(0 < x < 1\)
В этом случае \( \log_5{x} < 0\), и нужно решать:
\[
\log_5{x} \leq 1 - 6x^2
\]
Для этих значений \(x\), \(1 - 6x^2\) положительно, поэтому мы можем рассматривать это как обычное неравенство.

### 6. Итоговое решение:

Мы имеем две неравенства:
\[
x > 0 \text{ и } 0 < x < \frac{1}{\sqrt{6}}
\]

Таким образом, решением будет \( 0 < x \leq \frac{1}{\sqrt{6}} \).

---

**Ответ:** Решение неравенства: \(0 < x \leq \frac{1}{\sqrt{6}}\).

---

Хотите более детальное объяснение какого-то шага или есть другие вопросы?

**Вопросы:**
1. Как решать логарифмические неравенства?
2. Что происходит при разных значениях основания логарифма?
3. Как работают неравенства при квадратичных функциях?
4. Какие методы можно использовать для проверки корней?
5. Почему важно учитывать область определения в таких задачах?

**Совет:** При работе с логарифмами всегда следите за областью определения, чтобы не получить ложные результаты.

Learn how to solve the logarithmic inequality log5x + 3(2x^2) <= 1 step-by-step with a detailed explanation. This problem involves logarithmic properties and quadratic inequality solutions. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation