Untuk menentukan nilai limit dari soal berikut:

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2}$

Kita perlu melakukan manipulasi aljabar agar bentuk ini dapat dihitung lebih mudah, karena jika kita langsung substitusi $x = 2$, penyebutnya akan menjadi nol. Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

Langkah 1: Perkalian dengan bentuk sekawan

Bentuk ini melibatkan akar, sehingga kita kalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan dari pembilang, yaitu:

$\text{Sekawan dari } \sqrt{x^2 + 5} - 3 \text{ adalah } \sqrt{x^2 + 5} + 3.$

Maka kita tulis ulang limit menjadi:

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 5} + 3}{\sqrt{x^2 + 5} + 3}.$

Langkah 2: Sederhanakan pembilang menggunakan identitas $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

$(\sqrt{x^2 + 5} - 3)(\sqrt{x^2 + 5} + 3) = (\sqrt{x^2 + 5})^2 - 3^2.$

Sehingga pembilang menjadi:

$x^2 + 5 - 9 = x^2 - 4.$

Sekarang limit menjadi:

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}.$

Langkah 3: Faktorkan pembilang

Perhatikan bahwa $x^2 - 4$ dapat difaktorkan sebagai:

$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2).$

Substitusikan ini ke dalam limit:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(\sqrt{x^2 + 5} + 3)}.$

Sekarang kita bisa menyederhanakan faktor $x - 2$ (dengan asumsi $x \neq 2$):

$\lim_{x \to 2} \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3}.$

Langkah 4: Substitusikan $x = 2$

Setelah menyederhanakan, kita langsung substitusikan $x = 2$:

• $x + 2 = 2 + 2 = 4$,
• $\sqrt{x^2 + 5} = \sqrt{2^2 + 5} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$.

Maka penyebutnya menjadi:

$\sqrt{x^2 + 5} + 3 = 3 + 3 = 6.$

Sehingga limitnya adalah:

$\frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 5} + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$

Jawaban Akhir:

$\lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x^2 + 5} - 3}{x - 2} = \frac{2}{3}.$

Apakah Anda ingin penjelasan lebih detail atau contoh soal serupa?

Pertanyaan Lanjutan:

1. Bagaimana jika limit melibatkan bentuk tak tentu $0/0$ lainnya?
2. Bagaimana cara menyederhanakan limit dengan pangkat tiga atau lebih?
3. Apa itu bentuk sekawan, dan mengapa digunakan dalam limit?
4. Bagaimana menyelesaikan limit jika ada dua akar dalam pembilang dan penyebut?
5. Apa metode L'Hôpital, dan bagaimana digunakan untuk limit bentuk tak tentu?

Tip: Bentuk sekawan sangat berguna ketika terdapat akar kuadrat dalam limit atau persamaan.