Diketahui:

$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{36x^2 + ax + 7} - 6x + b \right) = 32$

Dan:

$a - b = 6$

Kita akan mencari nilai $b$ yang memenuhi.

1. Penyederhanaan Limit

Untuk $x \to \infty$, akar kuadrat dapat disederhanakan menggunakan pendekatan:

$\sqrt{36x^2 + ax + 7} \approx 6x + \frac{a}{12} + \frac{7}{2 \cdot 6x}$

Menggunakan pendekatan ini, ekspresi menjadi:

$\sqrt{36x^2 + ax + 7} - 6x \approx \frac{a}{12} + \frac{7}{2 \cdot 6x}$

Sehingga untuk limit:

$\lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{36x^2 + ax + 7} - 6x + b \right) = \frac{a}{12} + b$

2. Persamaan Limit

Dari soal:

$\frac{a}{12} + b = 32$

Dan diketahui:

$a - b = 6$

Kita memiliki sistem persamaan linear:

\frac{a}{12} + b = 32 \tag{1} a - b = 6 \tag{2}

3. Penyelesaian Sistem Persamaan

Dari persamaan (2):

$a = b + 6$

Substitusikan $a = b + 6$ ke persamaan (1):

$\frac{b + 6}{12} + b = 32$

Kalikan seluruh persamaan dengan 12 untuk menghilangkan penyebut:

$b + 6 + 12b = 384$

Sederhanakan:

$13b + 6 = 384$

$13b = 378$

$b = \frac{378}{13} = 29$

4. Verifikasi

Jika $b = 29$, maka:

$a = b + 6 = 29 + 6 = 35$

Cek persamaan limit:

$\frac{35}{12} + 29 = \frac{35}{12} + \frac{348}{12} = \frac{383}{12} = 32$

Maka nilai $b = 29$ adalah benar.

---

Jawaban: $b = 29$.

Jika ada pertanyaan lebih lanjut, beri tahu saya! Berikut pertanyaan yang relevan untuk memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara menyederhanakan akar dalam limit dengan pendekatan asimptotik?
2. Apa manfaat menyederhanakan limit menggunakan pendekatan dominan $x^2$?
3. Bagaimana cara memeriksa kesalahan dalam sistem persamaan?
4. Mengapa pendekatan $\sqrt{36x^2 + ax + 7} \approx 6x + \frac{a}{12}$ valid untuk $x \to \infty$?
5. Apakah ada solusi lain untuk nilai $b$?

Tip: Saat menyelesaikan limit dengan akar kuadrat, gunakan dominan suku terbesar untuk menyederhanakan perhitungan.