Ratkaistaan raja-arvo

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^2} - 1 + e^{-6x}$

käyttäen L'Hospitalin sääntöä.

Vaihe 1: Analysoi raja-arvon muoto

Kun $x \to 0$:

• Termi $\frac{e^x}{x^2}$ on muotoa $\frac{1}{0}$, eli lähestyy ääretöntä.
• Termi $-1 + e^{-6x}$ lähestyy $-1 + 1 = 0$.

Tämä tarkoittaa, että meillä on muoto $\infty - 0$, joka vaatii lisäselvitystä.

Tarkastellaan ensin pelkkää termiä $\frac{e^x}{x^2}$, sillä tämä tuottaa äärettömän arvon. L'Hospitalin sääntöä voidaan käyttää tähän osaan kahdesti, koska kyseessä on epäselvä muoto $\frac{\infty}{\infty}$.

Vaihe 2: Käytä L'Hospitalin sääntöä termiin $\frac{e^x}{x^2}$

Otetaan derivaatat nimittäjästä ja osoittajasta:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}.$

Vaihe 3: Tutki termi $-1 + e^{-6x}$

Kun $x \to 0$, termi $e^{-6x}$ lähestyy arvoa 1. Siten:

$-1 + e^{-6x} \to -1 + 1 = 0.$

Lopputulos:

Raja-arvo on siis:

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^2} - 1 + e^{-6x} = \frac{1}{2}.$

Haluatko tarkempaa selitystä yksittäisiin vaiheisiin?

---

1. Miksi L'Hospitalin sääntö soveltuu vain epäselvään muotoon $\frac{0}{0}$ tai $\frac{\infty}{\infty}$?
2. Mitä tarkoittaa eksponentiaalifunktion derivointi suhteessa muuttujaan?
3. Mikä on eksponentiaalifunktion käyttäytyminen lähellä nollaa?
4. Kuinka termi $e^{-6x}$ käyttäytyy, kun $x$ lähestyy ääretöntä?
5. Miksi raja-arvotarkastelu jakautuu osiin tässä tapauksessa?

Vinkki: Eksponentiaalifunktioiden rajakäyttäytyminen on hyödyllinen tapa tunnistaa äärettömyyteen tai nollaan johtavat funktiot raja-arvoissa.