limx→0 (e^x)/(x^2)-1+e^(-6*x) käytä l'hospitalin sääntöä

Ratkaistaan raja-arvo

\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^2} - 1 + e^{-6x}
\]

käyttäen L'Hospitalin sääntöä.

**Vaihe 1: Analysoi raja-arvon muoto**

Kun \( x \to 0 \):
- Termi \(\frac{e^x}{x^2}\) on muotoa \(\frac{1}{0}\), eli lähestyy ääretöntä.
- Termi \(-1 + e^{-6x}\) lähestyy \( -1 + 1 = 0\).

Tämä tarkoittaa, että meillä on muoto \(\infty - 0\), joka vaatii lisäselvitystä.

Tarkastellaan ensin pelkkää termiä \(\frac{e^x}{x^2}\), sillä tämä tuottaa äärettömän arvon. L'Hospitalin sääntöä voidaan käyttää tähän osaan kahdesti, koska kyseessä on epäselvä muoto \(\frac{\infty}{\infty}\).

**Vaihe 2: Käytä L'Hospitalin sääntöä termiin \(\frac{e^x}{x^2}\)**

Otetaan derivaatat nimittäjästä ja osoittajasta:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}.
\]

**Vaihe 3: Tutki termi \(-1 + e^{-6x}\)**

Kun \(x \to 0\), termi \(e^{-6x}\) lähestyy arvoa 1. Siten:

\[
-1 + e^{-6x} \to -1 + 1 = 0.
\]

**Lopputulos:**

Raja-arvo on siis:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{x^2} - 1 + e^{-6x} = \frac{1}{2}.
\]

Haluatko tarkempaa selitystä yksittäisiin vaiheisiin?

---

1. Miksi L'Hospitalin sääntö soveltuu vain epäselvään muotoon \(\frac{0}{0}\) tai \(\frac{\infty}{\infty}\)?
2. Mitä tarkoittaa eksponentiaalifunktion derivointi suhteessa muuttujaan?
3. Mikä on eksponentiaalifunktion käyttäytyminen lähellä nollaa?
4. Kuinka termi \(e^{-6x}\) käyttäytyy, kun \(x\) lähestyy ääretöntä?
5. Miksi raja-arvotarkastelu jakautuu osiin tässä tapauksessa?

**Vinkki:** Eksponentiaalifunktioiden rajakäyttäytyminen on hyödyllinen tapa tunnistaa äärettömyyteen tai nollaan johtavat funktiot raja-arvoissa.

limx→0 (e^x)/(x^2) - 1 + e^(-6*x) käytä l'hospitalin sääntöä

This page provides a detailed solution for the limit lim x→0 (e^x)/(x^2) - 1 + e^(-6x) using L'Hospital's Rule. Explore exponential functions, derivatives, and their behavior as x approaches zero. Suitable for calculus students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation