Давайте решим неравенство:

$\sqrt{2x^2 + 6x - 3} \geq \sqrt{x^2 + 4x}$

Шаг 1: Избавимся от квадратных корней.

Для этого возведем обе части неравенства в квадрат, но перед этим нужно убедиться, что выражения под корнями не отрицательны, так как корень из отрицательного числа не существует в области действительных чисел.

1. $2x^2 + 6x - 3 \geq 0$
2. $x^2 + 4x \geq 0$

Проверим эти два выражения.

1. $2x^2 + 6x - 3 \geq 0$

Это квадратное неравенство. Найдем его корни с помощью дискриминанта: $D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 36 + 24 = 60$ Корни: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 2} = \frac{-6 \pm \sqrt{60}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{15}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{15}}{2}$ Корни приблизительно равны: $x_1 \approx -4.44, \quad x_2 \approx 0.44$ Таким образом, неравенство $2x^2 + 6x - 3 \geq 0$ выполняется при $x \leq -4.44$ или $x \geq 0.44$.

2. $x^2 + 4x \geq 0$

Для этого также решим неравенство: $x(x + 4) \geq 0$ Решения: $x \leq -4$ или $x \geq 0$.

Шаг 2: Найдем область, где оба выражения под корнями положительны.

Объединяя эти области, получаем: $x \in (-\infty, -4] \cup [0.44, \infty)$

Теперь, возведем обе части исходного неравенства в квадрат (только при $x$ из этой области):

$2x^2 + 6x - 3 \geq x^2 + 4x$

Шаг 3: Упростим неравенство.

Переносим все элементы на одну сторону: $2x^2 + 6x - 3 - x^2 - 4x \geq 0$ Упростим: $x^2 + 2x - 3 \geq 0$

Шаг 4: Решим полученное квадратное неравенство.

Для решения $x^2 + 2x - 3 \geq 0$ найдем его корни: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$ Корни: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2}$ Корни: $x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3$ Таким образом, неравенство $x^2 + 2x - 3 \geq 0$ выполняется при $x \leq -3$ или $x \geq 1$.

Шаг 5: Объединяем все решения.

Решения полученного неравенства пересекаются с областью, где выражения под корнями положительны. Таким образом, окончательное решение: $x \in (-\infty, -4] \cup [1, \infty)$

Ответ:

Неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4] \cup [1, \infty)$.

---

Хотите ли вы, чтобы я подробнее объяснил каждый шаг? Или у вас есть другие вопросы?

Вот 5 вопросов, которые могут быть полезны:

1. Как решать неравенства с квадратными корнями?
2. Как анализировать область определения неравенства с корнями?
3. Как решать квадратные неравенства?
4. Что такое дискриминант и как его использовать?
5. Как проверять решения неравенств в исходных выражениях?

Совет: При работе с неравенствами всегда проверяйте, что выражения под корнями не отрицательны, иначе решение может быть неверным.