Rozwiążmy tę nierówność krok po kroku:

Dana nierówność:

$\sqrt{x^2 - 1} - \sqrt[3]{x^3} + \sqrt{x - 1} < 0$

1. Zbiór wartości funkcji:

Musimy określić dziedzinę, czyli wartości $x$, dla których wyrażenie ma sens.

• $\sqrt{x^2 - 1}$ istnieje dla $x^2 - 1 \geq 0$, czyli $x \geq 1$ lub $x \leq -1$.
• $\sqrt[3]{x^3}$ istnieje dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$, ponieważ pierwiastek trzeciego stopnia istnieje dla każdej liczby rzeczywistej.
• $\sqrt{x - 1}$ istnieje dla $x - 1 \geq 0$, czyli $x \geq 1$.

Z powyższego wynika, że dziedziną funkcji jest $x \geq 1$.

2. Przekształcenie nierówności:

W dziedzinie $x \geq 1$, możemy uprościć wyrażenia.

• $\sqrt{x^2 - 1} = \sqrt{(x - 1)(x + 1)}$
• $\sqrt[3]{x^3} = x$, gdyż $\sqrt[3]{x^3} = x$ dla każdego $x$.
• $\sqrt{x - 1}$ pozostaje bez zmian.

Nierówność staje się: $\sqrt{(x - 1)(x + 1)} - x + \sqrt{x - 1} < 0$

3. Analiza wyrażenia:

Spróbujmy zbadać wyrażenie krok po kroku, testując wartości $x$ w dziedzinie $x \geq 1$.

• Dla $x = 1$: $\sqrt{(1 - 1)(1 + 1)} - 1 + \sqrt{1 - 1} = 0 - 1 + 0 = -1$ Nierówność jest spełniona dla $x = 1$.

• Dla $x = 2$: $\sqrt{(2 - 1)(2 + 1)} - 2 + \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1 \cdot 3} - 2 + 1 = \sqrt{3} - 1$ $\sqrt{3} \approx 1.732$, więc: $1.732 - 1 \approx 0.732 > 0$ Nierówność nie jest spełniona dla $x = 2$.

4. Wniosek:

Nierówność jest spełniona wyłącznie dla $x = 1$.

Ostateczne rozwiązanie:

$x = 1$

Czy potrzebujesz dodatkowych szczegółów lub masz pytania dotyczące rozwiązania?

Oto 5 powiązanych pytań:

1. Jak zmienia się wykres funkcji dla innych wartości $x$?
2. Czy możemy zastosować inne metody, by uprościć to wyrażenie?
3. Jakie inne nierówności można rozwiązywać za pomocą podobnych kroków?
4. Jak wpływa wybór dziedziny na rozwiązywanie nierówności?
5. Jakie inne sposoby mogą pomóc w analizie pierwiastków wyższych stopni w nierównościach?

Wskazówka: Zawsze analizuj dziedzinę funkcji na początku, aby uniknąć niewłaściwych rozwiązań.