Senza utilizzare operazioni con i limiti. Considera l’iperbole di equazione y = (x+a)/(bx+c). Determina a, b, c in modo che l’iperbole passi per l’origine e abbia come asintoti le rette di equazioni x = 2 e y = -1.

Per risolvere questo problema, dobbiamo determinare i valori di \( a \), \( b \) e \( c \) in modo che l'iperbole di equazione \( y = \frac{x + a}{bx + c} \) soddisfi le condizioni date:

1. L'iperbole deve passare per l'origine (0, 0).
2. L'iperbole deve avere come asintoti le rette \( x = 2 \) e \( y = -1 \).

### Condizione 1: Passaggio per l'origine
Se l'iperbole passa per l'origine, sostituendo \( x = 0 \) e \( y = 0 \) nell'equazione dell'iperbole, otteniamo:
\[
0 = \frac{0 + a}{b(0) + c} = \frac{a}{c}
\]
Per soddisfare questa equazione, deve essere \( a = 0 \).

### Condizione 2: Asintoto verticale \( x = 2 \)
Un asintoto verticale si verifica quando il denominatore dell'equazione tende a zero, causando una crescita infinita della funzione. Dobbiamo quindi impostare il denominatore uguale a zero:
\[
bx + c = 0
\]
Per \( x = 2 \), questo diventa:
\[
2b + c = 0
\]
Da cui otteniamo la relazione:
\[
c = -2b
\]

### Condizione 3: Asintoto orizzontale \( y = -1 \)
L'asintoto orizzontale rappresenta il valore a cui la funzione tende quando \( x \) tende all'infinito. Per \( y = -1 \), dobbiamo considerare il limite della funzione per \( x \) grande:
\[
y \approx \frac{x}{bx} = \frac{1}{b}
\]
Per ottenere un asintoto \( y = -1 \), dobbiamo avere:
\[
\frac{1}{b} = -1
\]
Quindi, \( b = -1 \).

### Determinazione di \( c \)
Abbiamo già trovato che \( c = -2b \). Sostituendo \( b = -1 \) nella relazione otteniamo:
\[
c = -2(-1) = 2
\]

### Risultati
I valori di \( a \), \( b \), e \( c \) che soddisfano le condizioni date sono:
\[
a = 0, \quad b = -1, \quad c = 2
\]

Pertanto, l'equazione dell'iperbole che passa per l'origine e ha come asintoti \( x = 2 \) e \( y = -1 \) è:
\[
y = \frac{x}{-x + 2}
\]

---

Hai domande o desideri ulteriori dettagli? Ecco alcune domande correlate:

1. Qual è l'importanza degli asintoti in una funzione razionale?
2. Come si determina la posizione degli asintoti in altre curve, come parabole o ellissi?
3. Che cosa succede se cambiamo il segno di \( b \) nella funzione originale?
4. Qual è la relazione tra asintoti e il comportamento della funzione all'infinito?
5. Qual è la differenza tra un asintoto verticale e uno orizzontale?

**Tip:** Gli asintoti forniscono informazioni cruciali sul comportamento di una funzione razionale, specialmente quando si avvicina ai valori limite.

Discover how to solve the hyperbola equation y = (x + a) / (bx + c) passing through the origin and with asymptotes x = 2 and y = -1. This problem covers rational functions, asymptotes, and equations of hyperbolas, suitable for advanced high school students.

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