resolver por transformadas de laplace x(4)+8x''+16x=0 ; x(0)=x'(0)=x''(0)=0 ; x'''(0)=1

Para resolver la ecuación diferencial de cuarto orden usando la transformada de Laplace, partimos con la ecuación diferencial dada:

\[
x^{(4)} + 8x'' + 16x = 0
\]

### Paso 1: Tomar la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación

Aplicamos la transformada de Laplace, recordando que la transformada de Laplace de las derivadas es:
- \( \mathcal{L}\{x^{(4)}(t)\} = s^4 X(s) - s^3 x(0) - s^2 x'(0) - s x''(0) - x'''(0) \)
- \( \mathcal{L}\{x''(t)\} = s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) \)
- \( \mathcal{L}\{x(t)\} = X(s) \)

Utilizamos las condiciones iniciales \( x(0) = x'(0) = x''(0) = 0 \) y \( x'''(0) = 1 \).

#### Transformada de cada término
1. Para \( x^{(4)} \):
   \[
   \mathcal{L}\{x^{(4)}\} = s^4 X(s) - 1
   \]
2. Para \( 8x'' \):
   \[
   \mathcal{L}\{8x''\} = 8(s^2 X(s))
   \]
3. Para \( 16x \):
   \[
   \mathcal{L}\{16x\} = 16X(s)
   \]

### Paso 2: Formar la ecuación en el dominio de Laplace

Sustituyendo en la ecuación original:
\[
s^4 X(s) - 1 + 8s^2 X(s) + 16X(s) = 0
\]

### Paso 3: Simplificar la ecuación

Agrupamos términos en \(X(s)\):
\[
(s^4 + 8s^2 + 16)X(s) = 1
\]

Entonces:
\[
X(s) = \frac{1}{s^4 + 8s^2 + 16}
\]

### Paso 4: Factorizar el denominador

Observamos que \( s^4 + 8s^2 + 16 \) se puede escribir como \( (s^2 + 4)^2 \). Entonces:
\[
X(s) = \frac{1}{(s^2 + 4)^2}
\]

### Paso 5: Transformada inversa de Laplace

Usamos la propiedad de la transformada inversa de Laplace para funciones de la forma \( \frac{1}{(s^2 + a^2)^2} \):
\[
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2 + a^2)^2}\right\} = \frac{t \sin(at)}{2a}
\]

Para nuestro caso, \(a = 2\), así que:
\[
x(t) = \frac{t \sin(2t)}{2 \cdot 2} = \frac{t \sin(2t)}{4}
\]

### Respuesta final

La solución de la ecuación diferencial es:
\[
x(t) = \frac{t \sin(2t)}{4}
\]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se resolvería una ecuación diferencial de segundo orden usando la transformada de Laplace?
2. ¿Qué otras condiciones iniciales cambiarían el enfoque de resolución con la transformada de Laplace?
3. ¿Cuál es el papel de los polos en la transformada inversa de Laplace en este tipo de ecuaciones?
4. ¿Cómo afecta un término no homogéneo en la ecuación diferencial al uso de la transformada de Laplace?
5. ¿En qué situaciones es más útil la transformada de Laplace en comparación con otros métodos de resolución?

### Tip
Para ecuaciones diferenciales de orden superior, las transformadas de Laplace son muy eficaces, especialmente cuando se dan condiciones iniciales detalladas como en este problema.

Discover how to solve the fourth-order differential equation x(4) + 8x'' + 16x = 0 with initial conditions x(0) = x'(0) = x''(0) = 0 and x'''(0) = 1 using Laplace transforms. This detailed guide covers the Laplace transform of derivatives and inverse transforms, suitable for undergraduate students.

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