Para resolver la ecuación diferencial de cuarto orden usando la transformada de Laplace, partimos con la ecuación diferencial dada:

$x^{(4)} + 8x'' + 16x = 0$

Paso 1: Tomar la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación

Aplicamos la transformada de Laplace, recordando que la transformada de Laplace de las derivadas es:

• $\mathcal{L}\{x^{(4)}(t)\} = s^4 X(s) - s^3 x(0) - s^2 x'(0) - s x''(0) - x'''(0)$
• $\mathcal{L}\{x''(t)\} = s^2 X(s) - s x(0) - x'(0)$
• $\mathcal{L}\{x(t)\} = X(s)$

Utilizamos las condiciones iniciales $x(0) = x'(0) = x''(0) = 0$ y $x'''(0) = 1$.

Transformada de cada término

1. Para $x^{(4)}$: $\mathcal{L}\{x^{(4)}\} = s^4 X(s) - 1$
2. Para $8x''$: $\mathcal{L}\{8x''\} = 8(s^2 X(s))$
3. Para $16x$: $\mathcal{L}\{16x\} = 16X(s)$

Paso 2: Formar la ecuación en el dominio de Laplace

Sustituyendo en la ecuación original: $s^4 X(s) - 1 + 8s^2 X(s) + 16X(s) = 0$

Paso 3: Simplificar la ecuación

Agrupamos términos en $X(s)$: $(s^4 + 8s^2 + 16)X(s) = 1$

Entonces: $X(s) = \frac{1}{s^4 + 8s^2 + 16}$

Paso 4: Factorizar el denominador

Observamos que $s^4 + 8s^2 + 16$ se puede escribir como $(s^2 + 4)^2$. Entonces: $X(s) = \frac{1}{(s^2 + 4)^2}$

Paso 5: Transformada inversa de Laplace

Usamos la propiedad de la transformada inversa de Laplace para funciones de la forma $\frac{1}{(s^2 + a^2)^2}$: $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s^2 + a^2)^2}\right\} = \frac{t \sin(at)}{2a}$

Para nuestro caso, $a = 2$, así que: $x(t) = \frac{t \sin(2t)}{2 \cdot 2} = \frac{t \sin(2t)}{4}$

Respuesta final

La solución de la ecuación diferencial es: $x(t) = \frac{t \sin(2t)}{4}$

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Tip

Para ecuaciones diferenciales de orden superior, las transformadas de Laplace son muy eficaces, especialmente cuando se dan condiciones iniciales detalladas como en este problema.