Untuk menyelesaikan soal ini, kita diminta untuk mencari konstanta $a$, $b$, dan $c$ yang memenuhi persamaan berikut:

$r_a = a \, r_1 + b \, r_2 + c \, r_3$

Dengan vektor-vektor yang diberikan:

• $r_1 = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
• $r_2 = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$
• $r_3 = -2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$
• $r_a = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$

Untuk mencari nilai $a$, $b$, dan $c$, kita akan membandingkan komponen-komponen vektor di kedua sisi persamaan.

Mari kita tulis ekspansi vektor di sisi kanan:

$r_a = a \, r_1 + b \, r_2 + c \, r_3$ $= a(2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + b(\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}) + c(-2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})$ $= (2a + b - 2c)\hat{i} + (-a + 3b + c)\hat{j} + (a + 2b + 3c)\hat{k}$

Kemudian, kita bandingkan komponen-komponen di kedua sisi persamaan dengan komponen vektor $r_a = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 5\hat{k}$:

• Komponen $\hat{i}$: $2a + b - 2c = 3$
• Komponen $\hat{j}$: $-a + 3b + c = 2$
• Komponen $\hat{k}$: $a + 2b + 3c = 5$

Sekarang kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear ini untuk $a$, $b$, dan $c$.

Langkah-langkah penyelesaian:

1. $2a + b - 2c = 3$
2. $-a + 3b + c = 2$
3. $a + 2b + 3c = 5$

Mari kita selesaikan sistem ini. sympy import symbols, Eq, solve

Define variables

a, b, c = symbols('a b c')

Define the system of equations

eq1 = Eq(2a + b - 2c, 3) eq2 = Eq(-a + 3b + c, 2) eq3 = Eq(a + 2b + 3*c, 5)

Solve the system of equations

solution = solve((eq1, eq2, eq3), (a, b, c)) solutionSetelah menyelesaikan sistem persamaan, kita mendapatkan solusi berikut:

• $a = \frac{3}{2}$
• $b = 1$
• $c = \frac{1}{2}$

Jadi, nilai $a$, $b$, dan $c$ yang memenuhi persamaan $r_a = a \, r_1 + b \, r_2 + c \, r_3$ adalah:

$a = \frac{3}{2}, \quad b = 1, \quad c = \frac{1}{2}$

Apakah Anda membutuhkan penjelasan lebih lanjut tentang langkah-langkahnya atau ada pertanyaan lain?

Pertanyaan lanjutan:

1. Bagaimana cara memecahkan sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi?
2. Apa perbedaan antara vektor posisi dan vektor gaya dalam fisika?
3. Bagaimana cara menentukan hasil perkalian titik antara dua vektor?
4. Apa itu basis dan ruang vektor dalam matematika?
5. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan matriks yang lebih besar dengan banyak variabel?

Tip: Cobalah menggambarkan vektor-vektor tersebut di ruang tiga dimensi untuk memahami bagaimana komponen $a$, $b$, dan $c$ mempengaruhi posisi vektor $r_a$.