For å løse dette problemet, har vi funksjonen for hastighet:

$v(t) = 5.3 + 4.9 e^{-2t}$

Vi skal finne ut når hastighetsendringen mellom to tidspunkter $t$ og $t+1$ er mindre enn 0.1, altså når

$v(t+1) - v(t) < 0.1$

Trinn 1: Sett opp uttrykk for $v(t+1)$ og $v(t)$

Vi vet allerede at:

$v(t) = 5.3 + 4.9 e^{-2t}$

Derfor er $v(t+1)$:

$v(t+1) = 5.3 + 4.9 e^{-2(t+1)} = 5.3 + 4.9 e^{-2t-2}$

Trinn 2: Beregn forskjellen $v(t+1) - v(t)$

Vi finner forskjellen mellom $v(t+1)$ og $v(t)$:

[ v(t+1) - v(t) = [5.3 + 4.9 e^{-2t-2}] - [5.3 + 4.9 e^{-2t}] ]

Dette forenkles til:

$v(t+1) - v(t) = 4.9 e^{-2t-2} - 4.9 e^{-2t}$

Vi kan faktorisere ut $4.9 e^{-2t}$:

$v(t+1) - v(t) = 4.9 e^{-2t} \left(e^{-2} - 1\right)$

Vi vet at $e^{-2} \approx 0.1353$, så:

$v(t+1) - v(t) \approx 4.9 e^{-2t} (0.1353 - 1) = 4.9 e^{-2t} (-0.8647)$

$v(t+1) - v(t) \approx -4.2348 e^{-2t}$

Trinn 3: Sett opp ulikheten

Vi vil finne ut når denne forskjellen er mindre enn 0.1 i absoluttverdi, altså:

$|-4.2348 e^{-2t}| < 0.1$

Siden dette uttrykket er negativt, kan vi fjerne absoluttverdiene og få:

$4.2348 e^{-2t} < 0.1$

Trinn 4: Løs ulikheten

Del begge sider av ulikheten på 4.2348:

$e^{-2t} < \frac{0.1}{4.2348} \approx 0.02361$

Ta den naturlige logaritmen (ln) på begge sider:

$-2t < \ln(0.02361) \approx -3.744$

Del på -2:

$t > \frac{-3.744}{-2} \approx 1.872$

Konklusjon

Hastighetsendringen vil være mindre enn 0.1 når $t > 1.872$.

Har du noen spørsmål eller vil du ha flere detaljer?

Her er noen oppfølgingsspørsmål:

1. Hvordan påvirker eksponentialfunksjonen $e^{-2t}$ hastighetsendringen over tid?
2. Hvordan kan du tolke dette resultatet fysisk i en anvendelse?
3. Hva vil skje om koeffisientene i hastighetsfunksjonen endres?
4. Kan vi forvente at hastigheten vil nærme seg en bestemt verdi over tid?
5. Hvordan ville løsningen endret seg hvis vi endret toleransegrensen fra 0.1 til en annen verdi?

Tips: Når du jobber med eksponentialfunksjoner, reduseres verdiene eksponentielt over tid, og logaritmer kan ofte være nøkkelen til å løse ulikheter.