Löse: 4^Quadratwurzel(x) = Quadratwurzel(16^x)

Gegeben ist die Gleichung:

\[
4^{\sqrt{x}} = \sqrt{16^x}
\]

Wir gehen wie folgt vor:

### Schritt 1: Vereinfachen der Wurzelterme

Zunächst setzen wir die Terme in eine potenzielle Darstellung um.

1. **Linke Seite:** \(4^{\sqrt{x}}\) bleibt zunächst unverändert.
2. **Rechte Seite:** Der Ausdruck \(\sqrt{16^x}\) kann als \( (16^x)^{\frac{1}{2}} \) geschrieben werden, was wiederum \(16^{\frac{x}{2}}\) entspricht.

Die Gleichung wird dann zu:

\[
4^{\sqrt{x}} = 16^{\frac{x}{2}}
\]

### Schritt 2: Darstellen von 4 und 16 als Potenzen von 2

Nun schreiben wir beide Seiten in der Basis 2 um:

- \(4\) kann als \(2^2\) geschrieben werden, sodass \(4^{\sqrt{x}} = (2^2)^{\sqrt{x}} = 2^{2\sqrt{x}}\).
- \(16\) kann als \(2^4\) geschrieben werden, sodass \(16^{\frac{x}{2}} = (2^4)^{\frac{x}{2}} = 2^{2x}\).

Damit erhalten wir die umgeschriebene Gleichung:

\[
2^{2\sqrt{x}} = 2^{2x}
\]

### Schritt 3: Exponenten vergleichen

Da die Basis auf beiden Seiten gleich ist, können wir die Exponenten gleichsetzen:

\[
2\sqrt{x} = 2x
\]

### Schritt 4: Beide Seiten durch 2 teilen

\[
\sqrt{x} = x
\]

### Schritt 5: Auflösen der Gleichung

Um die Gleichung \(\sqrt{x} = x\) zu lösen, quadrieren wir beide Seiten:

\[
x = x^2
\]

Dies lässt sich umstellen zu:

\[
x^2 - x = 0
\]

Faktorisieren:

\[
x(x - 1) = 0
\]

Daraus ergibt sich:

\[
x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 1
\]

### Schritt 6: Lösungen überprüfen

- Für \(x = 0\): Die Gleichung \(4^{\sqrt{0}} = \sqrt{16^0}\) ergibt \(4^0 = \sqrt{1} \Rightarrow 1 = 1\), was korrekt ist.
- Für \(x = 1\): Die Gleichung \(4^{\sqrt{1}} = \sqrt{16^1}\) ergibt \(4^1 = \sqrt{16} \Rightarrow 4 = 4\), was ebenfalls korrekt ist.

### Lösung

Die Lösungen sind:

\[
x = 0 \quad \text{oder} \quad x = 1
\]

Möchten Sie noch Details zur Lösung oder haben Sie Fragen?

---

**Weitere verwandte Fragen:**

1. Wie löst man ähnliche Gleichungen mit Wurzeln und Exponenten?
2. Warum ist das Quadrieren in Schritt 5 eine sichere Methode hier?
3. Gibt es eine allgemeine Strategie zum Vereinfachen von Potenzgleichungen?
4. Was passiert, wenn andere Basen als 2 und 4 verwendet werden?
5. Wie wirkt sich eine zusätzliche Konstante auf beiden Seiten der Gleichung aus?

**Tipp:** Bei Gleichungen mit Potenzen und Wurzeln kann es oft hilfreich sein, Ausdrücke auf die gleiche Basis umzuschreiben, um Exponenten zu vergleichen.

Explore the solution to the equation 4^√x = √(16^x), a problem involving radicals and exponents. Follow each simplification step to learn techniques for rewriting expressions with common bases, using exponent rules, and verifying solutions. Ideal for students in Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation