Terjemahan Masalah

Air mengalir di saluran trapesium dengan laju aliran $Q = 20 \, \mathrm{m}^3 / \mathrm{s}$. Kedalaman kritis $y$ pada saluran ini harus memenuhi persamaan:

$0 = 1 - \frac{Q^2}{g A_c^3} B,$

di mana $g = 9.81 \, \mathrm{m/s}^2$, $A_c$ adalah luas penampang lintang $(\mathrm{m}^2)$, dan $B$ adalah lebar saluran di permukaan $(\mathrm{m})$. Untuk kasus ini, lebar $B$ dan luas penampang $A_c$ bergantung pada kedalaman $y$ dengan hubungan:

$B = 3 + y \quad \text{dan} \quad A_c = 3y + \frac{y^2}{2}.$

Ide Menyelesaikan dengan Metode Bisection

1. Susun Fungsi untuk Kedalaman Kritis $y$: Ubah persamaan kritis menjadi fungsi nol $f(y)$ dengan substitusi $B$ dan $A_c$ ke persamaan awal: $f(y) = 1 - \frac{Q^2}{g (3y + \frac{y^2}{2})^3} (3 + y).$

2. Tetapkan Domain $[a, b]$: Pilih interval awal $[a, b]$ di mana $f(y)$ berubah tanda ($f(a) \times f(b) < 0$). Misalnya, interval $y$ mulai dari 0 hingga perkiraan yang lebih besar.

3. Iterasi Metode Bisection:

   • Hitung titik tengah $c = \frac{a + b}{2}$.
   • Evaluasi $f(c)$.
   • Tentukan subinterval baru:
     • Jika $f(a) \cdot f(c) < 0$, maka $[a, c]$ menjadi interval baru.
     • Jika $f(c) \cdot f(b) < 0$, maka $[c, b]$ menjadi interval baru.
   • Ulangi hingga $|f(c)|$ cukup kecil (konvergen ke akar).

4. Iterasi hingga Konvergensi:

   • Gunakan batas toleransi seperti $\epsilon = 10^{-6}$ untuk menentukan kapan menghentikan iterasi.

5. Hasil: Kedalaman $y$ kritis diperoleh dari titik tengah terakhir $c$ setelah iterasi.

Jika Anda ingin, saya dapat langsung menyelesaikan masalah ini dengan melakukan iterasi menggunakan metode bisection. Apakah Anda ingin saya melanjutkan perhitungan ini?