COS(3x + pi/5) = 0.5 lös ekvationen med både radianer och grader, tack!

För att lösa ekvationen \(\cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 0.5\) både i radianer och grader, följer vi dessa steg:

### 1. Analysera grundlösningen för cosinusfunktionen:
Vi vet att:
\[
\cos(\theta) = 0.5
\]
har lösningarna:
\[
\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{eller} \quad \theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad \text{där} \ k \ \text{är ett heltal.}
\]

### 2. Anpassa för ekvationen:
Vår ekvation är \(\cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 0.5\). Sätt \(\theta = 3x + \frac{\pi}{5}\), och lös för \(\theta\):
\[
3x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{eller} \quad 3x + \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi.
\]

### 3. Lös för \(x\):
#### Första lösningen:
\[
3x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Subtrahera \(\frac{\pi}{5}\) från båda sidor:
\[
3x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2k\pi
\]
Vi beräknar \(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5}\) genom att använda en gemensam nämnare:
\[
\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} = \frac{2\pi}{15}
\]
Så vi får:
\[
3x = \frac{2\pi}{15} + 2k\pi
\]
Dividera båda sidor med 3:
\[
x = \frac{2\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3}
\]

#### Andra lösningen:
\[
3x + \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Subtrahera \(\frac{\pi}{5}\) från båda sidor:
\[
3x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2k\pi
\]
Vi beräknar \(-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5}\):
\[
-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = -\frac{5\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} = -\frac{8\pi}{15}
\]
Så vi får:
\[
3x = -\frac{8\pi}{15} + 2k\pi
\]
Dividera båda sidor med 3:
\[
x = -\frac{8\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3}
\]

### 4. Sammanfattning av lösningarna i radianer:
De två lösningarna för \(x\) i radianer är:
\[
x = \frac{2\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3}
\]
och
\[
x = -\frac{8\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]

### 5. Lösning i grader:
Vi omvandlar de radianbaserade lösningarna till grader genom att multiplicera med \(\frac{180}{\pi}\):

#### Första lösningen:
\[
x = \frac{2\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3} \implies x = \frac{2 \times 180}{45} + \frac{2k \times 180}{3} = 8^\circ + 120k^\circ
\]

#### Andra lösningen:
\[
x = -\frac{8\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3} \implies x = -\frac{8 \times 180}{45} + \frac{2k \times 180}{3} = -32^\circ + 120k^\circ
\]

### Slutsats:
Lösningarna för \(x\) i grader är:
\[
x = 8^\circ + 120k^\circ
\]
och
\[
x = -32^\circ + 120k^\circ, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]

Vill du ha fler detaljer eller har du några frågor?

Här är några frågor som bygger på informationen:
1. Hur omvandlar man radianer till grader och vice versa?
2. Vad är den allmänna lösningen för \(\cos(\theta) = a\)?
3. Kan du visa hur man hittar de exakta trigonometriska värdena för \(\theta = \frac{\pi}{3}\)?
4. Varför adderar vi \(2k\pi\) i cosinuslösningen?
5. Vad skulle hända om vi löser \(\sin(3x + \frac{\pi}{5}) = 0.5\)?

**Tips:** Att förstå symmetrin i trigonometriska funktioner hjälper mycket när du löser ekvationer.

Learn how to solve the trigonometric equation COS(3x + pi/5) = 0.5 with detailed solutions in both radians and degrees. This problem covers key trigonometric concepts including cosine function properties, periodicity, and the conversion between radians and degrees. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation