För att lösa ekvationen $\cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 0.5$ både i radianer och grader, följer vi dessa steg:

1. Analysera grundlösningen för cosinusfunktionen:

Vi vet att: $\cos(\theta) = 0.5$ har lösningarna: $\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{eller} \quad \theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad \text{där} \ k \ \text{är ett heltal.}$

2. Anpassa för ekvationen:

Vår ekvation är $\cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 0.5$. Sätt $\theta = 3x + \frac{\pi}{5}$, och lös för $\theta$: $3x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{eller} \quad 3x + \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi.$

3. Lös för $x$:

Första lösningen:

$3x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ Subtrahera $\frac{\pi}{5}$ från båda sidor: $3x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2k\pi$ Vi beräknar $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5}$ genom att använda en gemensam nämnare: $\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = \frac{5\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} = \frac{2\pi}{15}$ Så vi får: $3x = \frac{2\pi}{15} + 2k\pi$ Dividera båda sidor med 3: $x = \frac{2\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3}$

Andra lösningen:

$3x + \frac{\pi}{5} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ Subtrahera $\frac{\pi}{5}$ från båda sidor: $3x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} + 2k\pi$ Vi beräknar $-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5}$: $-\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{5} = -\frac{5\pi}{15} - \frac{3\pi}{15} = -\frac{8\pi}{15}$ Så vi får: $3x = -\frac{8\pi}{15} + 2k\pi$ Dividera båda sidor med 3: $x = -\frac{8\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3}$

4. Sammanfattning av lösningarna i radianer:

De två lösningarna för $x$ i radianer är: $x = \frac{2\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3}$ och $x = -\frac{8\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}.$

5. Lösning i grader:

Vi omvandlar de radianbaserade lösningarna till grader genom att multiplicera med $\frac{180}{\pi}$:

Första lösningen:

$x = \frac{2\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3} \implies x = \frac{2 \times 180}{45} + \frac{2k \times 180}{3} = 8^\circ + 120k^\circ$

Andra lösningen:

$x = -\frac{8\pi}{45} + \frac{2k\pi}{3} \implies x = -\frac{8 \times 180}{45} + \frac{2k \times 180}{3} = -32^\circ + 120k^\circ$

Slutsats:

Lösningarna för $x$ i grader är: $x = 8^\circ + 120k^\circ$ och $x = -32^\circ + 120k^\circ, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Vill du ha fler detaljer eller har du några frågor?

Här är några frågor som bygger på informationen:

1. Hur omvandlar man radianer till grader och vice versa?
2. Vad är den allmänna lösningen för $\cos(\theta) = a$?
3. Kan du visa hur man hittar de exakta trigonometriska värdena för $\theta = \frac{\pi}{3}$?
4. Varför adderar vi $2k\pi$ i cosinuslösningen?
5. Vad skulle hända om vi löser $\sin(3x + \frac{\pi}{5}) = 0.5$?

Tips: Att förstå symmetrin i trigonometriska funktioner hjälper mycket när du löser ekvationer.