8時x分の長針と短針の位置が1時y分で入れかわるとき、xの値を求めなさい。

この問題では、8時x分のときの長針と短針の位置が、1時y分のときと入れ替わるときのxの値を求めます。

### 解説

まず、長針と短針の位置を数学的に表現します。

1. **短針の角度**  
   短針は1時間で30°進みます。したがって、8時x分の短針の角度は以下のように計算できます。

   - 短針がちょうど8時のときは240°（= 8×30°）です。
   - そこから、分が経つごとに \(0.5\)°進むので、8時x分の短針の角度は：
   \[
   \theta_{短針} = 240 + 0.5x \, (\text{度})
   \]

2. **長針の角度**  
   長針は1分で6°進みます。したがって、8時x分の長針の角度は：
   \[
   \theta_{長針} = 6x \, (\text{度})
   \]

この問題では、8時x分のときの長針と短針の角度が、1時y分のときに入れ替わります。つまり：
\[
240 + 0.5x = 6y \quad \text{かつ} \quad 6x = 30 + 0.5y
\]

この連立方程式を解いていきます。

### 方程式を解く

1. **第一式**を解きます：
   \[
   240 + 0.5x = 6y
   \]
   両辺から240を引いて：
   \[
   0.5x = 6y - 240
   \]
   両辺を2倍して：
   \[
   x = 12y - 480 \quad \text{(式1)}
   \]

2. **第二式**を解きます：
   \[
   6x = 30 + 0.5y
   \]
   両辺から30を引いて：
   \[
   6x - 30 = 0.5y
   \]
   両辺を2倍して：
   \[
   12x - 60 = y \quad \text{(式2)}
   \]

3. **式1**と**式2**を連立して解きます：
   - 式2を式1に代入します：
   \[
   x = 12(12x - 60) - 480
   \]
   これを展開して：
   \[
   x = 144x - 720 - 480
   \]
   両辺を整理して：
   \[
   143x = 1200
   \]
   よって、xの値は：
   \[
   x = \frac{1200}{143} \approx 8.39
   \]

したがって、xの値は**約8分**です。

何か質問や詳細な解説が必要でしょうか？

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関連する質問をいくつか挙げます：

1. 長針と短針の角度の計算方法を詳しく説明できますか？
2. 他の時刻における針の入れ替わりはどうなるでしょうか？
3. なぜ短針は1分ごとに0.5度進むのですか？
4. 時計の針の速度の比率に基づいて他の問題を解けますか？
5. どうして方程式を使って針の位置を求めることができるのですか？
6. 他の手法でこの問題を解くことは可能ですか？
7. 時計の針の入れ替わりの問題で出やすいパターンは何ですか？
8. 時間と角度の関係を視覚的に理解する方法はありますか？

**Tip:** 時計の針の位置関係を考えるときは、まず長針と短針の進む角度を正確に理解することが重要です。

Learn how to solve a mathematical problem involving clock hands swapping positions at 8:x. Understand the geometry of clock hands, calculate angles using specific formulas, and solve a system of linear equations to find the exact time x. Suitable for high school students studying geometry and linear equations.

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