この問題では、8時x分のときの長針と短針の位置が、1時y分のときと入れ替わるときのxの値を求めます。

解説

まず、長針と短針の位置を数学的に表現します。

1. 短針の角度
   短針は1時間で30°進みます。したがって、8時x分の短針の角度は以下のように計算できます。

   • 短針がちょうど8時のときは240°（= 8×30°）です。
   • そこから、分が経つごとに $0.5$°進むので、8時x分の短針の角度は： $\theta_{短針} = 240 + 0.5x \, (\text{度})$

2. 長針の角度
   長針は1分で6°進みます。したがって、8時x分の長針の角度は： $\theta_{長針} = 6x \, (\text{度})$

この問題では、8時x分のときの長針と短針の角度が、1時y分のときに入れ替わります。つまり： $240 + 0.5x = 6y \quad \text{かつ} \quad 6x = 30 + 0.5y$

この連立方程式を解いていきます。

方程式を解く

1. 第一式を解きます： $240 + 0.5x = 6y$ 両辺から240を引いて： $0.5x = 6y - 240$ 両辺を2倍して： $x = 12y - 480 \quad \text{(式1)}$

2. 第二式を解きます： $6x = 30 + 0.5y$ 両辺から30を引いて： $6x - 30 = 0.5y$ 両辺を2倍して： $12x - 60 = y \quad \text{(式2)}$

3. 式1と式2を連立して解きます：

   • 式2を式1に代入します： $x = 12(12x - 60) - 480$ これを展開して： $x = 144x - 720 - 480$ 両辺を整理して： $143x = 1200$ よって、xの値は： $x = \frac{1200}{143} \approx 8.39$

したがって、xの値は約8分です。

何か質問や詳細な解説が必要でしょうか？

---

関連する質問をいくつか挙げます：

1. 長針と短針の角度の計算方法を詳しく説明できますか？
2. 他の時刻における針の入れ替わりはどうなるでしょうか？
3. なぜ短針は1分ごとに0.5度進むのですか？
4. 時計の針の速度の比率に基づいて他の問題を解けますか？
5. どうして方程式を使って針の位置を求めることができるのですか？
6. 他の手法でこの問題を解くことは可能ですか？
7. 時計の針の入れ替わりの問題で出やすいパターンは何ですか？
8. 時間と角度の関係を視覚的に理解する方法はありますか？

Tip: 時計の針の位置関係を考えるときは、まず長針と短針の進む角度を正確に理解することが重要です。