V artimetičnem zaporedju je prvi člen -12, deveti pa 12. Izračunajte diferenci in trinajsti člen. Koliko členov je potrebno sešteti, da dobimo vsoto 204?

V aritmetičnem zaporedju velja naslednje:

1. **Prvi člen:** \( a_1 = -12 \)
2. **Deveti člen:** \( a_9 = 12 \)

### Izračun diferenciala (d)
V aritmetičnem zaporedju je vsak člen določen z enačbo:
\[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d
\]
Za deveti člen velja:
\[
a_9 = a_1 + (9 - 1) \cdot d = a_1 + 8 \cdot d
\]
\[
12 = -12 + 8d
\]
Dodajmo 12 na obe strani:
\[
24 = 8d
\]
Delimo z 8:
\[
d = 3
\]

### Izračun trinajstega člena
Sedaj, ko poznamo diferenci \(d\), lahko izračunamo trinajsti člen \(a_{13}\):
\[
a_{13} = a_1 + (13 - 1) \cdot d = -12 + 12 \cdot 3 = -12 + 36 = 24
\]

### Vsota članov do vsote 204
Vsota prvih \(n\) členov v aritmetičnem zaporedju se izračuna z enačbo:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)
\]
Želimo, da je \(S_n = 204\). Enačba postane:
\[
204 = \frac{n}{2} \cdot (-12 + a_n)
\]
Ker ne poznamo natančnega števila členov, uporabimo splošno obliko enačbe za \(a_n\):
\[
a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = -12 + (n - 1) \cdot 3
\]
Vsota prvih \(n\) členov:
\[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (-12 + (-12 + (n-1) \cdot 3)) = \frac{n}{2} \cdot (-24 + 3n - 3)
\]
\[
204 = \frac{n}{2} \cdot (3n - 27)
\]
\[
204 = \frac{3n^2 - 27n}{2}
\]
\[
408 = 3n^2 - 27n
\]
Delimo z 3:
\[
136 = n^2 - 9n
\]
Prestavimo vse na eno stran:
\[
n^2 - 9n - 136 = 0
\]
Rešimo kvadratno enačbo z uporabo kvadratnega korena:
\[
n = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 + 4 \cdot 136}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 544}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{625}}{2} = \frac{9 \pm 25}{2}
\]
Dobili smo dve možni rešitvi:
\[
n = \frac{34}{2} = 17 \quad \text{ali} \quad n = \frac{-16}{2} = -8
\]
Ker je število členov pozitivno, dobimo \( n = 17 \).

**Odgovor:** Potrebno je sešteti 17 členov, da dobimo vsoto 204.

---

Bi želeli še dodatne podrobnosti ali imate kakšna vprašanja? 

### Sorodna vprašanja:
1. Kako izračunamo vsoto aritmetičnega zaporedja?
2. Kako spremenimo enačbo, če bi imeli drug člen namesto prvega?
3. Kaj je splošna oblika n-tega člena v aritmetičnem zaporedju?
4. Kako izračunamo diferenci, če poznamo več kot dva člena?
5. Kako bi rešili kvadratno enačbo z drugačno metodo?

**Nasvet:** Pri reševanju zaporedij je pomembno, da poznamo ključne formule za n-ti člen in vsoto zaporedja.

Explore how to solve arithmetic sequence problems, find specific terms, and calculate sums, along with solving quadratic equations. This detailed explanation covers formulas for arithmetic sequences and quadratic equations, suitable for high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation