Для решения неравенства $|2x - 3| + |x + 1| \leq 4$, давайте рассмотрим его подробнее.

Шаг 1: Разделим выражение на интервалы, основываясь на точках, где абсолютные значения меняют знак.

1. Абсолютное значение $|2x - 3|$ меняет знак в точке $x = \frac{3}{2}$ (т.е. $2x - 3 = 0$).
2. Абсолютное значение $|x + 1|$ меняет знак в точке $x = -1$ (т.е. $x + 1 = 0$).

Это делит числовую ось на 3 интервала:

• $x \in (-\infty, -1)$,
• $x \in [-1, \frac{3}{2}]$,
• $x \in (\frac{3}{2}, \infty)$.

Мы рассмотрим каждый случай отдельно.

Шаг 2: Решение на каждом интервале.

Интервал 1: $x \in (-\infty, -1)$

В этом интервале:

• $2x - 3 < 0$, поэтому $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$,
• $x + 1 < 0$, поэтому $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$.

Подставляем это в неравенство: $-2x + 3 - x - 1 \leq 4.$ Упрощаем: $-3x + 2 \leq 4.$ $-3x \leq 2.$ $x \geq -\frac{2}{3}.$

Так как $x \in (-\infty, -1)$, этот интервал пуст, то есть решений здесь нет.

Интервал 2: $x \in [-1, \frac{3}{2}]$

В этом интервале:

• $2x - 3 < 0$, поэтому $|2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3$,
• $x + 1 \geq 0$, поэтому $|x + 1| = x + 1$.

Подставляем это в неравенство: $-2x + 3 + x + 1 \leq 4.$ Упрощаем: $-x + 4 \leq 4.$ $-x \leq 0.$ $x \geq 0.$

Таким образом, $x \in [0, \frac{3}{2}]$.

Интервал 3: $x \in (\frac{3}{2}, \infty)$

В этом интервале:

• $2x - 3 \geq 0$, поэтому $|2x - 3| = 2x - 3$,
• $x + 1 \geq 0$, поэтому $|x + 1| = x + 1$.

Подставляем это в неравенство: $2x - 3 + x + 1 \leq 4.$ Упрощаем: $3x - 2 \leq 4.$ $3x \leq 6.$ $x \leq 2.$

Таким образом, $x \in (\frac{3}{2}, 2]$.

Шаг 3: Объединение решений.

Объединяем полученные решения: [ x \in [0, \frac{3}{2}] \cup (\frac{3}{2}, 2] = [0, 2]. ]

Ответ:

Решение неравенства: $x \in [0, 2].$

Если есть вопросы или хотите дополнительное объяснение, дайте знать!

5 дополнительных вопросов для размышления:

1. Как решать подобные неравенства с тремя абсолютными значениями?
2. Что изменится, если заменить $\leq$ на $<$?
3. Как можно проверить решение графически?
4. Какие основные шаги нужно запомнить для решения неравенств с модулями?
5. Что произойдет, если в выражении $|2x - 3|$ коэффициент $2$ заменить на $1$?

Совет:

Всегда начинайте с нахождения точек, где модули меняют знак, чтобы разделить неравенство на интервалы.