Die Gleichung lautet:

$z^3 = 8i$

Wir suchen nun die Lösungen für $z$. Dazu gehen wir schrittweise vor:

1. Umstellung der Gleichung

Die Gleichung $z^3 = 8i$ ist eine komplexe Gleichung, in der $z$ eine komplexe Zahl ist. Zuerst müssen wir $8i$ in polarer Form darstellen.

2. Darstellung der rechten Seite in Polarform

Die komplexe Zahl $8i$ hat den Betrag:

$|8i| = 8$

Und der Winkel (Argument) $\theta$ ist $\frac{\pi}{2}$, da $8i$ auf der positiven imaginären Achse liegt.

In polarer Form ergibt sich:

$8i = 8 \cdot e^{i\frac{\pi}{2}}$

3. Anwenden der dritten Wurzel

Nun wollen wir die dritte Wurzel von $8i$ ziehen. Die komplexe Zahl $z$ hat die Form $z = r \cdot e^{i\theta}$. Um die Lösung zu finden, nehmen wir die dritte Wurzel von $8i = 8e^{i\frac{\pi}{2}}$.

Die allgemeine Formel für die dritte Wurzel einer komplexen Zahl lautet:

$z_k = \sqrt[3]{|8i|} \cdot e^{i\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3}\right)}, \quad k = 0, 1, 2$

Da der Betrag von $8i$ 8 ist, ergibt sich:

$\sqrt[3]{8} = 2$

Somit ist die Lösung:

$z_k = 2 \cdot e^{i\left(\frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{3}\right)}, \quad k = 0, 1, 2$

4. Berechnung der Lösungen

Nun berechnen wir die drei Lösungen für $k = 0, 1, 2$:

• Für $k = 0$:

$z_0 = 2 \cdot e^{i\frac{\pi}{6}} = 2\left( \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} \right) = 2\left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} + i$

• Für $k = 1$:

$z_1 = 2 \cdot e^{i\frac{5\pi}{6}} = 2\left( \cos\frac{5\pi}{6} + i \sin\frac{5\pi}{6} \right) = 2\left( -\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = -\sqrt{3} + i$

• Für $k = 2$:

$z_2 = 2 \cdot e^{i\frac{3\pi}{2}} = 2\left( \cos\frac{3\pi}{2} + i \sin\frac{3\pi}{2} \right) = 2(0 - i) = -2i$

5. Endergebnisse

Die drei Lösungen für $z^3 = 8i$ sind:

$z_0 = \sqrt{3} + i, \quad z_1 = -\sqrt{3} + i, \quad z_2 = -2i$

Falls du eine genauere Erklärung zu den einzelnen Schritten oder den komplexen Zahlen wünschst, lass es mich wissen!

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Tipp: Bei komplexen Zahlen ist es oft hilfreich, sie in polarer Form zu bearbeiten, besonders wenn es um das Ziehen von Wurzeln oder das Berechnen von Potenzen geht.