Determina las soluciones de la siguiente ecuación cuadrática. 4x² − 12x + 25 = 0.

Para resolver la ecuación cuadrática \(4x^2 - 12x + 25 = 0\), usaremos la **fórmula general** para las ecuaciones cuadráticas:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Donde los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) se obtienen de la ecuación cuadrática estándar \(ax^2 + bx + c = 0\). En este caso, tenemos:

- \(a = 4\)
- \(b = -12\)
- \(c = 25\)

Sustituyendo estos valores en la fórmula general:

\[
x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(4)(25)}}{2(4)}
\]

Simplificamos paso a paso:

1. **Primero calculamos el discriminante:**

\[
b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(4)(25) = 144 - 400 = -256
\]

2. **Como el discriminante es negativo** (\(-256\)), esto indica que las soluciones serán números complejos. Continuamos con la fórmula:

\[
x = \frac{12 \pm \sqrt{-256}}{8}
\]

3. **Simplificamos la raíz cuadrada del número negativo:**

\[
\sqrt{-256} = \sqrt{-1 \times 256} = 16i
\]

4. **Sustituimos en la fórmula:**

\[
x = \frac{12 \pm 16i}{8}
\]

5. **Simplificamos las soluciones:**

\[
x = \frac{12}{8} \pm \frac{16i}{8} = \frac{3}{2} \pm 2i
\]

Por lo tanto, las soluciones de la ecuación cuadrática son:

\[
x_1 = \frac{3}{2} + 2i
\]
\[
x_2 = \frac{3}{2} - 2i
\]

Estas son soluciones complejas.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta?

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Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Qué significa el discriminante en una ecuación cuadrática?
2. ¿Cómo se interpreta una solución compleja en términos geométricos?
3. ¿Qué pasa si el discriminante es cero?
4. ¿Cómo se obtienen soluciones reales en una ecuación cuadrática?
5. ¿Cómo se pueden graficar las soluciones complejas en el plano complejo?

**Tip:** Cuando el discriminante es negativo, las soluciones de la ecuación cuadrática no son reales sino complejas, y puedes expresarlas en términos de números imaginarios.

Learn how to solve the quadratic equation 4x² − 12x + 25 = 0 using the quadratic formula. This problem involves complex numbers and covers the concept of discriminant in quadratic equations. Suitable for high school students.

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