Um die Lösung $y(x)$ des Anfangswertproblems

$y' - 2y = 5 \sin(4x), \quad y(0) = 3$

zu finden, folgen wir den Schritten zur Lösung einer linearen inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung.

1. Bestimmung der homogenen Lösung:

Zuerst betrachten wir die zugehörige homogene Gleichung:

$y' - 2y = 0$

Diese kann umgeschrieben werden als:

$y' = 2y$

Die Lösung dieser Gleichung hat die Form:

$y_h(x) = C e^{2x}$

wobei $C$ eine Konstante ist.

2. Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung:

Nun suchen wir eine spezielle Lösung $y_p(x)$ der inhomogenen Gleichung:

$y' - 2y = 5 \sin(4x)$

Ansatz für die spezielle Lösung:

Da der inhomogene Term $5 \sin(4x)$ trigonometrisch ist, versuchen wir einen Ansatz der Form:

$y_p(x) = A \cos(4x) + B \sin(4x)$

Dann berechnen wir die Ableitung $y_p'(x)$:

$y_p'(x) = -4A \sin(4x) + 4B \cos(4x)$

Setzen wir diesen Ansatz in die ursprüngliche Gleichung ein:

$(-4A \sin(4x) + 4B \cos(4x)) - 2(A \cos(4x) + B \sin(4x)) = 5 \sin(4x)$

Das gibt:

$(-4A - 2B) \sin(4x) + (4B - 2A) \cos(4x) = 5 \sin(4x) + 0 \cos(4x)$

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir:

$-4A - 2B = 5 \quad \text{und} \quad 4B - 2A = 0$

Lösen wir diese Gleichungen:

1. $4B - 2A = 0$ $\Rightarrow$ $B = \frac{A}{2}$

2. $-4A - 2\left(\frac{A}{2}\right) = 5$ $\Rightarrow$ $-4A - A = 5$ $\Rightarrow$ $A = -1$

Einsetzen von $A = -1$ in $B = \frac{A}{2}$:

$B = -\frac{1}{2}$

Die spezielle Lösung ist also:

$y_p(x) = -\cos(4x) - \frac{1}{2} \sin(4x)$

3. Allgemeine Lösung:

Die allgemeine Lösung setzt sich aus der homogenen und der speziellen Lösung zusammen:

$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C e^{2x} - \cos(4x) - \frac{1}{2} \sin(4x)$

4. Anwendung der Anfangsbedingung:

Wir verwenden die Anfangsbedingung $y(0) = 3$, um $C$ zu bestimmen:

$y(0) = C e^{0} - \cos(0) - \frac{1}{2} \sin(0) = C - 1 = 3$

Das ergibt:

$C = 4$

5. Endgültige Lösung:

Die endgültige Lösung des Anfangswertproblems ist:

$y(x) = 4e^{2x} - \cos(4x) - \frac{1}{2} \sin(4x)$

Möchten Sie weitere Details oder haben Sie Fragen?

Vertiefende Fragen:

1. Wie findet man die homogene Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung?
2. Welche Rolle spielt der Ansatz bei der Bestimmung der speziellen Lösung?
3. Warum ist der Koeffizientenvergleich bei der Bestimmung der speziellen Lösung wichtig?
4. Wie würde sich die Lösung ändern, wenn die Anfangsbedingung anders wäre?
5. Wie beeinflusst die Frequenz der trigonometrischen Funktion die Form der speziellen Lösung?
6. Kann man das Verfahren auch auf nichtlineare Differentialgleichungen anwenden?
7. Wie bestimmt man eine Lösung, wenn die Differentialgleichung nicht in homogener Form vorliegt?
8. Was würde passieren, wenn die inhomogene Funktion eine andere Form (z.B. exponential) hätte?

Tipp: Beim Lösen von Differentialgleichungen ist es hilfreich, sowohl die homogene als auch die spezielle Lösung gut zu verstehen, um die allgemeine Lösung korrekt bestimmen zu können.