سوال دوم به این شکل تعریف شده است:
$\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\pi/4} e^{x + y} \, dx \, dy$

روش حل:

1. ترتیب انتگرال‌ها نشان می‌دهد که ابتدا نسبت به $x$ انتگرال‌گیری و سپس نسبت به $y$ انجام می‌دهیم.
2. انتگرال داخلی به این صورت است: $\int_{-3}^{3} e^{x+y} \, dx$ از آنجایی که $e^{x+y}$ را می‌توان به $e^x e^y$ تجزیه کرد، و $e^y$ یک ثابت نسبت به $x$ است، انتگرال ساده‌تر خواهد شد.

حل انتگرال داخلی:

$\int_{-3}^{3} e^{x+y} \, dx = \int_{-3}^{3} e^x e^y \, dx = e^y \int_{-3}^{3} e^x \, dx$ انتگرال $\int_{-3}^{3} e^x \, dx$ به شکل زیر محاسبه می‌شود: $\int_{-3}^{3} e^x \, dx = \left[ e^x \right]_{-3}^{3} = e^3 - e^{-3}$ بنابراین: $\int_{-3}^{3} e^{x+y} \, dx = e^y (e^3 - e^{-3})$

انتگرال خارجی:

حال انتگرال نسبت به $y$ را حساب می‌کنیم: $\int_{0}^{\pi/4} e^y (e^3 - e^{-3}) \, dy = (e^3 - e^{-3}) \int_{0}^{\pi/4} e^y \, dy$ انتگرال $\int e^y \, dy$: $\int e^y \, dy = e^y + C$ با اعمال حدود $0$ تا $\pi/4$: $\int_{0}^{\pi/4} e^y \, dy = \left[ e^y \right]_{0}^{\pi/4} = e^{\pi/4} - e^0 = e^{\pi/4} - 1$

نتیجه نهایی:

$\int_{-3}^{3} \int_{0}^{\pi/4} e^{x + y} \, dx \, dy = (e^3 - e^{-3})(e^{\pi/4} - 1)$

اگر سوالی دارید یا نیاز به جزئیات بیشتری دارید، بپرسید!

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توان ترتیب انتگرال‌گیری را تغییر داد؟
2. مقدار تقریبی $e^{\pi/4}$ چیست؟
3. چرا می‌توان $e^{x+y}$ را به $e^x e^y$ تفکیک کرد؟
4. اگر حدود انتگرال تغییر کنند، نتیجه چگونه تغییر می‌کند؟
5. کاربرد انتگرال دوگانه در فیزیک چیست؟

نکته:

هنگام حل انتگرال‌ها، ساده‌سازی عبارات قبل از انتگرال‌گیری به کاهش خطا کمک می‌کند.