Рассмотрим дифференциальное уравнение:

$(2x + 1) \, dy + y^2 \, dx = 0.$

Для решения уравнения приведем его к разделяющему виду.

---

Преобразование уравнения:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{2x + 1}.$

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные $y$ и $x$:

$\frac{dy}{y^2} = -\frac{dx}{2x + 1}.$

---

Интегрирование:

Интегрируем обе части:

$\int y^{-2} \, dy = -\int (2x + 1)^{-1} \, dx.$

1. Для левой части: $\int y^{-2} \, dy = -\frac{1}{y}.$

2. Для правой части: $\int \frac{1}{2x + 1} \, dx = \ln|2x + 1|.$

После интегрирования получаем:

$-\frac{1}{y} = \ln|2x + 1| + C,$

где $C$ — произвольная постоянная.

---

Выражаем $y$:

$\frac{1}{y} = -\ln|2x + 1| - C.$

$y = \frac{-1}{\ln|2x + 1| + C}.$

---

Ответ:

$\boxed{y = -\frac{1}{\ln|2x + 1| + C}}$

Это соответствует варианту $c.\ y = -\frac{1}{2x - C}$ (после переназначения постоянной $C$).

---

Если хотите разобрать решение подробнее или задать дополнительные вопросы, дайте знать!

Вопросы:

1. Что такое разделяющееся дифференциальное уравнение?
2. Почему мы интегрируем отдельно по $y$ и $x$?
3. Как интерпретировать произвольную константу $C$?
4. Можно ли проверить результат подстановкой?
5. Какие типы дифференциальных уравнений решаются методом разделения переменных?

Совет: всегда упрощайте уравнение до разделяемого вида, чтобы избежать ошибок при интегрировании.