Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết.

Bài toán đã cho:

• Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, tức là $\angle BAC = 90^\circ$.
• Trên tia đối của $BA$, lấy điểm $D$.
• Ta cần giải quyết hai phần câu hỏi: a) So sánh độ dài $CB$ và $CD$. b) Lấy điểm $E$ trên cạnh $AC$, chứng minh $BE < DC$.

---

Phần a) So sánh $CB$ và $CD$

Để so sánh $CB$ và $CD$, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras và lý thuyết về các tam giác vuông.

• Ta có tam giác vuông $ABC$ tại $A$, nên theo định lý Pythagoras: $BC^2 = AB^2 + AC^2$

• Điểm $D$ nằm trên tia đối của $BA$, vì vậy, $D$ sẽ nằm ngoài đoạn thẳng $BA$. Do đó, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng để so sánh độ dài các đoạn thẳng $CB$ và $CD$.

• Vì $D$ nằm ngoài đoạn thẳng $BA$, ta có thể thấy rằng $CD > CB$, vì đoạn $CD$ là một phần của đoạn thẳng dài hơn khi tính từ $C$ đến $D$.

Kết luận phần a:

$CB < CD$

---

Phần b) Lấy điểm $E$ trên cạnh $AC$, chứng minh $BE < DC$

Giả sử ta lấy điểm $E$ bất kỳ trên cạnh $AC$.

Ta có tam giác vuông $ABC$ tại $A$, và $E$ nằm trên cạnh $AC$, do đó $AE + EC = AC$.

Để chứng minh $BE < DC$, ta sẽ dùng bất đẳng thức tam giác và so sánh các đoạn thẳng trong tam giác vuông.

• Trong tam giác vuông $ABC$, đoạn thẳng $BE$ sẽ luôn nhỏ hơn đoạn thẳng $DC$ vì đoạn $DC$ là một đoạn dài hơn, còn $BE$ là đoạn nối từ điểm $B$ đến điểm $E$ trên cạnh $AC$.

Cách chứng minh này có thể dùng bất đẳng thức tam giác trong trường hợp này:

• Đoạn $BE$ nhỏ hơn đoạn $DC$ vì $E$ chỉ là một điểm trên cạnh $AC$, và $D$ nằm ngoài đoạn $BA$, khiến $DC$ dài hơn.

Kết luận phần b:

$BE < DC$

---

Tóm tắt:

• a) $CB < CD$
• b) $BE < DC$

---

Có thêm câu hỏi nào cần giải thích không? Hoặc bạn muốn chi tiết về các phần chứng minh?

5 câu hỏi mở rộng:

1. Khi nào đoạn thẳng trong tam giác vuông có thể được so sánh bằng nhau?
2. Định lý Pythagoras được áp dụng trong các trường hợp nào ngoài tam giác vuông?
3. Nếu cho tam giác vuông $ABC$, tại sao chiều dài các đoạn thẳng ngoài tam giác có thể khác nhau?
4. Điều gì xảy ra khi điểm $E$ trên cạnh $AC$ thay đổi vị trí?
5. Làm thế nào để áp dụng bất đẳng thức tam giác trong các bài toán hình học?

Tip: Khi làm bài tập hình học, việc vẽ hình minh họa rõ ràng và xác định các tính chất của các đoạn thẳng là rất quan trọng để dễ dàng so sánh và chứng minh.