Pour simplifier cette expression complexe, nous allons réécrire $z = \frac{-(-3 + 2i) \pm \sqrt{-15 + 8i}}{2}$ étape par étape.

Étape 1 : Simplification du numérateur

L'expression dans le numérateur contient le terme $-(-3 + 2i)$, que nous pouvons simplifier :

$-(-3 + 2i) = 3 - 2i$

Cela nous donne :

$z = \frac{3 - 2i \pm \sqrt{-15 + 8i}}{2}$

Étape 2 : Calcul de la racine carrée de $-15 + 8i$

Pour simplifier davantage, nous devons trouver $\sqrt{-15 + 8i}$. Pour cela, nous devons exprimer $-15 + 8i$ en coordonnées polaires.

1. Module : $r = | -15 + 8i | = \sqrt{(-15)^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$
2. Argument : $\theta = \arg(-15 + 8i) = \arctan\left(\frac{8}{-15}\right) = \pi - \arctan\left(\frac{8}{15}\right)$

Ainsi, nous avons $-15 + 8i = 17 \text{cis}(\pi - \arctan(8/15))$.

La racine carrée sera donc :

$\sqrt{-15 + 8i} = \sqrt{17} \text{cis}\left(\frac{\pi - \arctan(8/15)}{2}\right)$

En utilisant cette valeur, nous pouvons exprimer $z$ en termes de sa forme simplifiée, mais la forme exacte dépend des valeurs de $\pm$ et des résultats de l'argument.

Si vous souhaitez des détails sur la suite de cette simplification, veuillez le préciser.

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Avez-vous besoin de plus de détails sur une étape spécifique ?

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Astuce

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