Die gegebene Umformung sieht folgendermaßen aus:

$\frac{\left( \frac{a^2 b^4}{c} \right)^3}{\left( \frac{b^5 c^{-2}}{a} \right)^2} = \frac{a^6 b^{12} a^2 c^4}{c^3 b^{10}} = a^8 b^2 c$

Um diesen Ausdruck zu verstehen, gehen wir Schritt für Schritt vor:

1. Ausgangsausdruck:

$\frac{\left( \frac{a^2 b^4}{c} \right)^3}{\left( \frac{b^5 c^{-2}}{a} \right)^2}$

2. Berechnung des Zählers:

Im Zähler haben wir den Ausdruck $\left( \frac{a^2 b^4}{c} \right)^3$. Wir wenden die Potenzregel $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ an:

$\left( \frac{a^2 b^4}{c} \right)^3 = \frac{(a^2)^3 (b^4)^3}{c^3} = \frac{a^6 b^{12}}{c^3}$

3. Berechnung des Nenners:

Im Nenner haben wir den Ausdruck $\left( \frac{b^5 c^{-2}}{a} \right)^2$. Auch hier wenden wir die Potenzregel an:

$\left( \frac{b^5 c^{-2}}{a} \right)^2 = \frac{(b^5)^2 (c^{-2})^2}{a^2} = \frac{b^{10} c^{-4}}{a^2}$

4. Einsetzen in den Ausgangsausdruck:

Nun setzen wir die berechneten Ausdrücke für Zähler und Nenner in den ursprünglichen Bruch ein:

$\frac{\frac{a^6 b^{12}}{c^3}}{\frac{b^{10} c^{-4}}{a^2}} = \frac{a^6 b^{12}}{c^3} \cdot \frac{a^2}{b^{10} c^{-4}}$

5. Brüche multiplizieren:

Nun multiplizieren wir die Brüche. Dabei wenden wir die Regel $\frac{x}{y} \cdot \frac{z}{w} = \frac{x \cdot z}{y \cdot w}$ an:

$= \frac{a^6 \cdot a^2 \cdot b^{12} \cdot c^4}{c^3 \cdot b^{10}}$

6. Potenzregel anwenden:

Jetzt wenden wir die Potenzregel $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ auf die gleichen Basen an:

• $a^6 \cdot a^2 = a^{6+2} = a^8$
• $b^{12} \cdot b^{-10} = b^{12-10} = b^2$
• $c^4 / c^3 = c^{4-3} = c$

Der resultierende Ausdruck lautet also:

$\frac{a^8 b^2 c}{1} = a^8 b^2 c$

Ergebnis:

Die Umformung führt zum Ergebnis $a^8 b^2 c$, was das endgültige Ergebnis ist.

Zusammenfassung der Schritte:

1. Zähler potenzieren: $\left( \frac{a^2 b^4}{c} \right)^3$ wird zu $\frac{a^6 b^{12}}{c^3}$.
2. Nenner potenzieren: $\left( \frac{b^5 c^{-2}}{a} \right)^2$ wird zu $\frac{b^{10} c^{-4}}{a^2}$.
3. Brüche multiplizieren: Die beiden Brüche $\frac{a^6 b^{12}}{c^3}$ und $\frac{a^2}{b^{10} c^{-4}}$ werden multipliziert.
4. Potenzregel anwenden: Exponenten werden entsprechend addiert oder subtrahiert.

Falls du weitere Fragen zu den einzelnen Schritten hast oder eine detailliertere Erklärung zu einem Teil wünschst, lass es mich wissen!

Weitere Fragen, die du dir stellen könntest:

1. Wie wende ich die Potenzregel auf negative Exponenten an?
2. Warum gilt $\frac{a^6}{a^2} = a^{6-2}$?
3. Was passiert, wenn ich die Potenzregel auf eine Division von Brüchen anwende?
4. Wie geht man mit Exponenten in mehreren Variablen gleichzeitig um?
5. Welche anderen Regeln zur Vereinfachung von Ausdrücken sind wichtig?

Tipp: Bei der Arbeit mit Exponenten ist es hilfreich, immer die Basis zu identifizieren und dann mit den Exponenten zu arbeiten. Denke daran, dass $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$.