Math Problem Statement

\text{Упростите выражение } \sqrt{21 - 12\sqrt{3}} - \sqrt{21 + 12\sqrt{3}}. \text{ Если результат упрощения — целое число, то прибавьте к результату } 6, \text{ а если результат нецелый, то прибавьте } 4\sqrt{3}.

Solution

Для начала упростим выражение 2112321+123\sqrt{21 - 12\sqrt{3}} - \sqrt{21 + 12\sqrt{3}}.

Шаг 1: Упростим каждое из выражений под корнем.

Предположим, что 21123\sqrt{21 - 12\sqrt{3}} и 21+123\sqrt{21 + 12\sqrt{3}} можно выразить в виде: abc=mn,\sqrt{a - b\sqrt{c}} = \sqrt{m} - \sqrt{n}, где a=m+na = m + n и bc=2mnb\sqrt{c} = 2\sqrt{mn}.

Рассмотрим выражение 21123\sqrt{21 - 12\sqrt{3}}: 21123=m+n2mn3.21 - 12\sqrt{3} = m + n - 2\sqrt{mn\sqrt{3}}. Отсюда получаем систему уравнений: m+n=21,2mn=123.m + n = 21, \quad 2\sqrt{mn} = 12\sqrt{3}. Решая второе уравнение: mn=63    mn=108.\sqrt{mn} = 6\sqrt{3} \implies mn = 108. Таким образом, мы имеем систему уравнений:

m + n = 21,\\ mn = 108. \end{cases}$$ Решим это квадратное уравнение для $$m$$ и $$n$$: $$x^2 - 21x + 108 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 21^2 - 4 \times 108 = 441 - 432 = 9.$$ Корни уравнения: $$x = \frac{21 \pm 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{и} \quad \frac{18}{2} = 9.$$ Таким образом, $$m = 12$$ и $$n = 9$$. ### Шаг 2: Подставим $$m$$ и $$n$$ в исходные выражения. $$\sqrt{21 - 12\sqrt{3}} = \sqrt{12} - \sqrt{9} = 2\sqrt{3} - 3,$$ $$\sqrt{21 + 12\sqrt{3}} = \sqrt{12} + \sqrt{9} = 2\sqrt{3} + 3.$$ Теперь подставим это в исходное выражение: $$\sqrt{21 - 12\sqrt{3}} - \sqrt{21 + 12\sqrt{3}} = (2\sqrt{3} - 3) - (2\sqrt{3} + 3) = -6.$$ ### Шаг 3: Определим, что прибавить к результату. Так как результат целое число ($$-6$$), то прибавляем 6: $$-6 + 6 = 0.$$ ### Ответ: Результат упрощения: $$0$$. Хотите узнать подробности или задать вопросы? Вот 5 связанных вопросов, которые могут вас заинтересовать: 1. Как решать квадратные уравнения с целыми и иррациональными коэффициентами? 2. Какие техники упрощения радикальных выражений существуют? 3. Почему дискриминант важен в нахождении корней квадратного уравнения? 4. Как можно использовать разложение на множители для упрощения выражений? 5. В каких случаях полезно разложение числа на множители? **Совет:** Использование разложения на множители и дискриминанта помогает упростить многие сложные алгебраические выражения.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Radical Expressions
Quadratic Equations
Square Roots

Formulas

Quadratic equation solving techniques

Theorems

Properties of radicals
Quadratic equation discriminant

Suitable Grade Level

Grades 10-12