\text{Упростите выражение } \sqrt{21 - 12\sqrt{3}} - \sqrt{21 + 12\sqrt{3}}. \text{ Если результат упрощения — целое число, то прибавьте к результату } 6, \text{ а если результат нецелый, то прибавьте } 4\sqrt{3}.

Для начала упростим выражение \(\sqrt{21 - 12\sqrt{3}} - \sqrt{21 + 12\sqrt{3}}\).

### Шаг 1: Упростим каждое из выражений под корнем.
Предположим, что \(\sqrt{21 - 12\sqrt{3}}\) и \(\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}\) можно выразить в виде:
\[
\sqrt{a - b\sqrt{c}} = \sqrt{m} - \sqrt{n},
\]
где \(a = m + n\) и \(b\sqrt{c} = 2\sqrt{mn}\).

Рассмотрим выражение \(\sqrt{21 - 12\sqrt{3}}\):
\[
21 - 12\sqrt{3} = m + n - 2\sqrt{mn\sqrt{3}}.
\]
Отсюда получаем систему уравнений:
\[
m + n = 21, \quad 2\sqrt{mn} = 12\sqrt{3}.
\]
Решая второе уравнение:
\[
\sqrt{mn} = 6\sqrt{3} \implies mn = 108.
\]
Таким образом, мы имеем систему уравнений:
\[
\begin{cases}
m + n = 21,\\
mn = 108.
\end{cases}
\]

Решим это квадратное уравнение для \(m\) и \(n\):
\[
x^2 - 21x + 108 = 0.
\]
Дискриминант:
\[
D = 21^2 - 4 \times 108 = 441 - 432 = 9.
\]
Корни уравнения:
\[
x = \frac{21 \pm 3}{2} = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{и} \quad \frac{18}{2} = 9.
\]
Таким образом, \(m = 12\) и \(n = 9\).

### Шаг 2: Подставим \(m\) и \(n\) в исходные выражения.
\[
\sqrt{21 - 12\sqrt{3}} = \sqrt{12} - \sqrt{9} = 2\sqrt{3} - 3,
\]
\[
\sqrt{21 + 12\sqrt{3}} = \sqrt{12} + \sqrt{9} = 2\sqrt{3} + 3.
\]
Теперь подставим это в исходное выражение:
\[
\sqrt{21 - 12\sqrt{3}} - \sqrt{21 + 12\sqrt{3}} = (2\sqrt{3} - 3) - (2\sqrt{3} + 3) = -6.
\]

### Шаг 3: Определим, что прибавить к результату.
Так как результат целое число (\(-6\)), то прибавляем 6:
\[
-6 + 6 = 0.
\]

### Ответ:
Результат упрощения: \(0\).

Хотите узнать подробности или задать вопросы?

Вот 5 связанных вопросов, которые могут вас заинтересовать:
1. Как решать квадратные уравнения с целыми и иррациональными коэффициентами?
2. Какие техники упрощения радикальных выражений существуют?
3. Почему дискриминант важен в нахождении корней квадратного уравнения?
4. Как можно использовать разложение на множители для упрощения выражений?
5. В каких случаях полезно разложение числа на множители?

**Совет:** Использование разложения на множители и дискриминанта помогает упростить многие сложные алгебраические выражения.

Learn how to simplify the expression √(21 - 12√3) - √(21 + 12√3) step-by-step with a detailed solution. This problem involves radical expressions, quadratic equations, and properties of square roots. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation