Soit $n$ un entier naturel avec $n \geq 1$. Simplifions l'expression suivante :

$\frac{(n+1)!}{n!} - \frac{n!}{(n-1)!}$

Étape 1 : Simplification du premier terme

Le premier terme est $\frac{(n+1)!}{n!}$. Or, par définition d'une factorielle, on a :

$(n+1)! = (n+1) \cdot n!$

Donc,

$\frac{(n+1)!}{n!} = n+1$

Étape 2 : Simplification du second terme

Le second terme est $\frac{n!}{(n-1)!}$. Par définition, on a :

$n! = n \cdot (n-1)!$

Donc,

$\frac{n!}{(n-1)!} = n$

Étape 3 : Remplacer dans l'expression initiale

L'expression devient alors :

$(n+1) - n$

Étape 4 : Simplification finale

Cela nous donne :

$(n+1) - n = 1$

Conclusion :

La simplification de l'expression $\frac{(n+1)!}{n!} - \frac{n!}{(n-1)!}$ est égale à 1.

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ? Voici 5 questions connexes pour approfondir :

1. Comment fonctionne la factorielle d'un nombre entier ?
2. Quelle est l'importance des factorielles en combinatoire ?
3. Peut-on étendre cette simplification à des cas où $n < 1$ ?
4. Comment se simplifie l'expression pour $n = 2$ ?
5. Comment calculer une factorielle lorsque $n$ est très grand ?

Astuce : Quand vous manipulez des factorielles dans des expressions fractionnaires, cherchez d'abord à simplifier les termes en utilisant les propriétés des factorielles.