Soit n un entier naturel, simplifier les nombres suivant : (n+1)!/n!-n!/(n-1)! Avec (n>=1)

Soit \( n \) un entier naturel avec \( n \geq 1 \). Simplifions l'expression suivante :

\[
\frac{(n+1)!}{n!} - \frac{n!}{(n-1)!}
\]

### Étape 1 : Simplification du premier terme
Le premier terme est \(\frac{(n+1)!}{n!}\). Or, par définition d'une factorielle, on a :

\[
(n+1)! = (n+1) \cdot n!
\]

Donc,

\[
\frac{(n+1)!}{n!} = n+1
\]

### Étape 2 : Simplification du second terme
Le second terme est \(\frac{n!}{(n-1)!}\). Par définition, on a :

\[
n! = n \cdot (n-1)!
\]

Donc,

\[
\frac{n!}{(n-1)!} = n
\]

### Étape 3 : Remplacer dans l'expression initiale
L'expression devient alors :

\[
(n+1) - n
\]

### Étape 4 : Simplification finale
Cela nous donne :

\[
(n+1) - n = 1
\]

### Conclusion :
La simplification de l'expression \(\frac{(n+1)!}{n!} - \frac{n!}{(n-1)!}\) est égale à **1**.

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ? Voici 5 questions connexes pour approfondir :

1. Comment fonctionne la factorielle d'un nombre entier ?
2. Quelle est l'importance des factorielles en combinatoire ?
3. Peut-on étendre cette simplification à des cas où \(n < 1\) ?
4. Comment se simplifie l'expression pour \(n = 2\) ?
5. Comment calculer une factorielle lorsque \(n\) est très grand ?

**Astuce** : Quand vous manipulez des factorielles dans des expressions fractionnaires, cherchez d'abord à simplifier les termes en utilisant les propriétés des factorielles.

Soit n un entier naturel, simplifier les nombres suivant : (n+1)!/n! - n!/(n-1)! Avec (n>=1)

Simplify the factorial expression (n+1)!/n! - n!/(n-1)! for n ≥ 1 with a clear step-by-step solution. This problem involves understanding the properties of factorials and algebraic simplifications, suitable for high school students.

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