আপনার দেওয়া ছবিটি বিশ্লেষণ করে দেখা যাচ্ছে যে এটি একটি জটিল গাণিতিক সমীকরণ এবং এর সমাধানের বিভিন্ন ধাপ দেখানো হয়েছে। তবে অনেক ধাপ বাদ দেওয়া হয়েছে, যা সরলীকরণ বুঝতে অসুবিধা সৃষ্টি করতে পারে। আমি এখন ছবির ওপর ভিত্তি করে প্রতিটি ধাপ সহজভাবে ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করছি।

ধাপগুলো সহজ করে ব্যাখ্যা করা হচ্ছে:

১. সমীকরণ (১) এবং (২) থেকে শুরু:

সমীকরণ (১) এবং (২) হলো: u'v'' + \frac{U_u}{2(U+V)} u'^2 v' + \frac{V_v}{2(U+V)} u'^2 v' = 0 \tag{1} u'v'' + \frac{V_v}{2(U+V)} u'^3 + \frac{U_u}{2(U+V)} u'^2 v'^2 = 0 \tag{2}

২. সমীকরণ (১) - (২) করলে:

সমীকরণ দুইটি থেকে সরাসরি বিয়োগ করলে: $(u'v'' - u'v'') - \frac{U_u}{2(U+V)}u'^2v' + \frac{V_v}{2(U+V)}u'^2v' - \frac{V_v}{2(U+V)}u'^3 + \frac{U_u}{2(U+V)}u'^2v'^2 = 0$

এখানে প্রথম পদটি বাদ যাবে কারণ $u'v'' - u'v'' = 0$, এবং সরলীকরণ করে: $-\frac{U_u}{2(U+V)} u'^2 v' + \frac{V_v}{2(U+V)} u'^2 v' - \frac{V_v}{2(U+V)} u'^3 + \frac{U_u}{2(U+V)} u'^2 v'^2 = 0$

৩. পদগুলো একত্রিত করে:

এখানে $U_u = \frac{dU}{du}$ এবং $V_v = \frac{dV}{dv}$ ব্যবহৃত হচ্ছে। এরপর ধাপে ধাপে সংগঠিত করা: $\frac{u'^2}{2(U+V)} \left[ -U_u v' + V_v v' - V_v u' + U_u v'^2 \right] = 0$

৪. সাধারণ রূপে লেখা:

এরপর $u'$ এবং $v'$-এর সম্পর্ক সমীকরণের সাহায্যে পূরণ করে এবং $u'^2(v'^2 + u'^2)$-এর সাহায্যে বিভক্ত করা হয়েছে: $2(U+V) (u''v' - u'v'') + (u'V_v - v'U_u) (u'^2 + v'^2) = 0$

এখানে $U_u$ এবং $V_v$ সম্পর্ক $U'$ ও $V'$-এর মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত: $U_u = U' \quad \text{এবং} \quad V_v = V'$

৫. চূড়ান্ত সমীকরণ:

উপরের সম্পর্কগুলো ব্যবহার করে চূড়ান্ত সমীকরণ দাঁড়ায়: $U'v'^2 (u'^2 + v'^2) - 2U'u'^3 - 2Vu'^3v' + 2Vu'^3 = 0$

অতিরিক্ত ব্যাখ্যা প্রয়োজন হলে বলুন!

আপনার বোঝার জন্য যদি নির্দিষ্ট অংশ বা ধাপ আরও বিস্তারিত প্রয়োজন হয়, জানাবেন। আমি প্রতিটি অংশ আরও ভেঙে ব্যাখ্যা করতে পারব।

৫টি প্রাসঙ্গিক প্রশ্ন:

1. $U_u$ এবং $V_v$ সম্পর্ক ব্যাখ্যা করতে কি আপনাকে সাহায্য করব?
2. $u'^2 + v'^2$-এর গুরুত্ব কীভাবে এসেছে, তা কি পরিষ্কার?
3. সরলীকরণের সময় পদগুলোর বিভাজন এবং যোগ/বিয়োগে কোনো ধাপ আরও বিশ্লেষণ প্রয়োজন?
4. এই সমীকরণ কি নির্দিষ্ট সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত হয়েছে?
5. আপনি কি $u$ ও $v$-এর সম্পর্ক সংজ্ঞায়ন করে কোনও নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধান করতে চান?

একটি টিপ:

জটিল সমীকরণের ক্ষেত্রে ধাপে ধাপে বিভাজন এবং প্রতিটি পদের পৃথক অর্থ বুঝতে পারলে সমস্যাটি আরও সহজ হয়ে যায়।