כדי להראות מקרים שבהם מתקיימים אי-שוויונות חדים $>$ ולא $\geq$ (כלומר, כאשר אין שוויון), צריך למצוא דוגמאות שבהן הביטויים המעורבים באי-שוויון שונים באופן ברור, כך שהשוויון אינו אפשרי.

הסבר ודוגמה כללית

אי-שוויון חד מתקיים כאשר הערך בצד אחד של המשוואה גדול בבירור מהצד השני, ללא אפשרות שהשוויון יתקיים. למשל:

• $x > y$ פירושו שהערך של $x$ הוא תמיד גדול מהערך של $y$, ללא שוויון.
• במקרה זה, נדרשת בחירה בקפידה של ערכים או תנאים שבהם אי-שוויון חד מובטח.

דוגמאות למקרים עם אי-שוויונות חדים:

1. דוגמה באלגברה פשוטה

נתון: $x^2 > x$ אי-שוויון זה מתקיים כאשר $x > 1$ או $x < 0$. לדוגמה:

• עבור $x = 2$, מתקבל $2^2 = 4 > 2$.
• עבור $x = -1$, מתקבל $(-1)^2 = 1 > -1$.

2. דוגמה בגאומטריה

אי-שוויון חד עשוי להתרחש כאשר משווים בין אורכים, שטחים או נפחים: $a + b > c$ במשולש, סכום שני צלעות תמיד גדול מאורך הצלע השלישית (תנאי לקיום משולש).

לדוגמה:

• אם $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$, אז $3 + 4 > 5$.

3. דוגמה באי-שוויון קושי-שוורץ

אי-שוויון קושי-שוורץ אומר: $\left( \sum_{i=1}^n a_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^n b_i^2 \right) \geq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2$ השוויון מתקיים אם ורק אם $a_i$ ו-$b_i$ תלויים ליניארית. לכן, כאשר $a_i$ ו-$b_i$ אינם תלויים ליניארית, מתקיים אי-שוויון חד $>$.

4. דוגמה עם פונקציות

נתון: $e^x > 1 + x$ אי-שוויון חד זה נכון לכל $x \neq 0$ (מבוסס על פיתוח טיילור של $e^x$).

5. דוגמה באנליזה

נתון: $\sin(x) < x$ אי-שוויון חד זה נכון לכל $x > 0$ (מבוסס על פיתוח טיילור של סינוס).

---

סיכום

כדי להציג מקרים שבהם מתקיימים אי-שוויונות חדים, יש לזהות מצבים שבהם התנאים או הערכים מובילים להבדל ברור בין הצדדים.

---

5 שאלות להרחבה:

1. כיצד ניתן להוכיח את אי-שוויון קושי-שוורץ ומהם התנאים לשוויון?
2. האם כל פונקציה שואפת לאי-שוויון חד בתנאים מסוימים? אם כן, באילו מקרים?
3. מה הקשר בין אי-שוויונות חדים לבין תנאי קיום בגאומטריה?
4. כיצד תכונות של פונקציות כמו מונוטוניות או קמירות משפיעות על אי-שוויונות חדים?
5. איך נבדיל בין שוויון לאי-שוויון חד במערכת משוואות ליניארית?

טיפ:

כאשר בודקים אי-שוויונות חדים, כדאי להשתמש בדוגמאות קיצוניות (גבולות) כדי להבין את תנאי השוויון וההבדל בין $>$ ל-$\geq$.