Чтобы найти количество семизначных чисел, сумма цифр которых равна 11, можно использовать метод шаров и перегородок (или метод комбинаторики с ограничениями).

Условие:

1. Число семизначное, то есть запись числа включает ровно 7 цифр: $x_1, x_2, \dots, x_7$.
2. Каждая цифра $x_i$ удовлетворяет $0 \leq x_i \leq 9$.
3. Сумма цифр равна 11: $x_1 + x_2 + \cdots + x_7 = 11$.

---

Метод решения:

1. Без ограничений: Представим задачу как распределение 11 единиц по 7 позициям ($x_1, x_2, \dots, x_7$), где каждая позиция может быть $\geq 0$. Это эквивалентно задаче "шаров и перегородок": $C(n+k-1, k-1) = C(11+7-1, 7-1) = C(17, 6).$

   $C(17, 6) = \frac{17!}{6! \cdot 11!} = 12376.$

2. Учет ограничений ($x_i \leq 9$): Метод включений-исключений учитывает случаи, где хотя бы одна цифра $x_i$ превышает 9. Для этого:

   • Если $x_i \geq 10$, заменим $x_i' = x_i - 10$, то новая сумма: $x_1' + x_2 + \cdots + x_7 = 1,$ и число вариантов без ограничений: $C(1+7-1, 7-1) = C(7, 6) = 7.$

   • Перебираем все возможные случаи пересечения (одновременно две или более цифры $\geq 10$). В данном случае это не потребуется, так как сумма всего числа 11 ограничивает только один случай $x_i \geq 10$.

3. Итоговая формула: Учитывая вышеизложенное, итоговое число: $N = C(17, 6) - 7 = 12376 - 7 = 12369.$

---

Ответ:

$\boxed{12369}$

---

Хотите получить подробное объяснение метода включений-исключений или обсудить схожие задачи? Вот несколько дополнительных вопросов:

1. Как метод шаров и перегородок применяется для других задач, например, для двузначных чисел?
2. Какие ограничения могут повлиять на число решений в общем случае?
3. Как метод включений-исключений применяется при больших ограничениях?
4. Что происходит, если сумма цифр больше максимально возможной суммы для числа с заданным количеством разрядов?
5. Как изменится задача, если число начинается с 1?

Совет: Метод шаров и перегородок удобен для решения задач распределения с неотрицательными ограничениями. Однако, всегда проверяйте допустимость полученных решений!