1.Dados los conjuntos M = {x ∣ x ∈ N, 2<x<14} y O = {x ∣ x=2n+1, n ∈ N, 0<n<6}, N conjunto de los números naturales
 
A.   Determine por extensión cada conjunto

B.   Encuentre la relación R = {(x, y) ∈ M x O | x = 2y+1}

C.   Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.

Vamos a resolver el problema paso a paso:

### A. Determinación por extensión de los conjuntos

1. **Conjunto \( M \):**
   \( M = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 2 < x < 14 \} \)

   Esto significa que \( M \) es el conjunto de números naturales que están entre 2 y 14 (sin incluir 2 ni 14).

   \[
   M = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}
   \]

2. **Conjunto \( O \):**
   \( O = \{x \mid x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}, 0 < n < 6\} \)

   Esto significa que \( O \) es el conjunto de números impares que se pueden generar con la fórmula \( 2n + 1 \) donde \( n \) es un número natural entre 1 y 5.

   Vamos a calcular los valores de \( x \):

   - Para \( n = 1 \): \( x = 2(1) + 1 = 3 \)
   - Para \( n = 2 \): \( x = 2(2) + 1 = 5 \)
   - Para \( n = 3 \): \( x = 2(3) + 1 = 7 \)
   - Para \( n = 4 \): \( x = 2(4) + 1 = 9 \)
   - Para \( n = 5 \): \( x = 2(5) + 1 = 11 \)

   Entonces el conjunto \( O \) es:

   \[
   O = \{3, 5, 7, 9, 11\}
   \]

### B. Relación \( R = \{(x, y) \in M \times O \mid x = 2y + 1 \} \)

Debemos buscar las parejas \( (x, y) \) que cumplen con la ecuación \( x = 2y + 1 \), donde \( x \in M \) y \( y \in O \).

Verifiquemos para cada valor de \( y \in O \):

- Para \( y = 3 \), \( x = 2(3) + 1 = 7 \). Como \( 7 \in M \), la pareja \( (7, 3) \) es parte de la relación.
- Para \( y = 5 \), \( x = 2(5) + 1 = 11 \). Como \( 11 \in M \), la pareja \( (11, 5) \) es parte de la relación.
- Para \( y = 7 \), \( x = 2(7) + 1 = 15 \). Como \( 15 \notin M \), no hay pareja.
- Para \( y = 9 \), \( x = 2(9) + 1 = 19 \). Como \( 19 \notin M \), no hay pareja.
- Para \( y = 11 \), \( x = 2(11) + 1 = 23 \). Como \( 23 \notin M \), no hay pareja.

Por lo tanto, la relación \( R \) es:

\[
R = \{(7, 3), (11, 5)\}
\]

### C. Dominio, codominio y rango de la relación

1. **Dominio:** El dominio de la relación \( R \) es el conjunto de los valores de \( x \) que aparecen en las parejas de la relación. En este caso, son los primeros elementos de las parejas:

   \[
   \text{Dominio} = \{7, 11\}
   \]

2. **Codominio:** El codominio es el conjunto \( O \) completo, ya que estamos considerando todas las posibles \( y \) de \( O \) para verificar si cumplen la relación.

   \[
   \text{Codominio} = O = \{3, 5, 7, 9, 11\}
   \]

3. **Rango:** El rango de la relación es el conjunto de los valores de \( y \) que efectivamente aparecen en las parejas de la relación. En este caso, son los segundos elementos de las parejas:

   \[
   \text{Rango} = \{3, 5\}
   \]

### Resumen Final:

- **Extensión de los conjuntos:**
  - \( M = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\} \)
  - \( O = \{3, 5, 7, 9, 11\} \)
  
- **Relación \( R \):** \( R = \{(7, 3), (11, 5)\} \)

- **Dominio:** \( \{7, 11\} \)
- **Codominio:** \( \{3, 5, 7, 9, 11\} \)
- **Rango:** \( \{3, 5\} \)

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el procedimiento?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para practicar más:

1. ¿Cómo se define una relación matemática entre dos conjuntos?
2. ¿Qué diferencia hay entre dominio y rango en una relación?
3. ¿Qué ocurre si no hay valores que satisfacen una relación en un conjunto?
4. ¿Cómo puedes graficar una relación \( R \) entre dos conjuntos?
5. ¿Cómo afectaría el cambio de \( O \) si \( n \) tomara otros valores?

**Tip:** Siempre que trabajes con relaciones, empieza identificando correctamente los elementos de los conjuntos para que puedas aplicar las condiciones dadas.

Dados los conjuntos M = {x ∣ x ∈ N, 2<x<14} y O = {x ∣ x=2n+1, n ∈ N, 0<n<6}, N conjunto de los números naturales

A. Determine por extensión cada conjunto

B. Encuentre la relación R = {(x, y) ∈ M x O | x = 2y+1}

C. Muestre el dominio, codominio y rango de la relación.

Explore how to extend the sets M and O, find the relation R = {(x, y) ∈ M x O | x = 2y + 1}, and determine the domain, codomain, and range. This problem focuses on key set theory concepts and relations, suitable for students in Grades 9-11.

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