Vamos a resolver el problema paso a paso:

A. Determinación por extensión de los conjuntos

1. Conjunto $M$: $M = \{x \mid x \in \mathbb{N}, 2 < x < 14 \}$

   Esto significa que $M$ es el conjunto de números naturales que están entre 2 y 14 (sin incluir 2 ni 14).

   $M = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$

2. Conjunto $O$: $O = \{x \mid x = 2n + 1, n \in \mathbb{N}, 0 < n < 6\}$

   Esto significa que $O$ es el conjunto de números impares que se pueden generar con la fórmula $2n + 1$ donde $n$ es un número natural entre 1 y 5.

   Vamos a calcular los valores de $x$:

   • Para $n = 1$: $x = 2(1) + 1 = 3$
   • Para $n = 2$: $x = 2(2) + 1 = 5$
   • Para $n = 3$: $x = 2(3) + 1 = 7$
   • Para $n = 4$: $x = 2(4) + 1 = 9$
   • Para $n = 5$: $x = 2(5) + 1 = 11$

   Entonces el conjunto $O$ es:

   $O = \{3, 5, 7, 9, 11\}$

B. Relación $R = \{(x, y) \in M \times O \mid x = 2y + 1 \}$

Debemos buscar las parejas $(x, y)$ que cumplen con la ecuación $x = 2y + 1$, donde $x \in M$ y $y \in O$.

Verifiquemos para cada valor de $y \in O$:

• Para $y = 3$, $x = 2(3) + 1 = 7$. Como $7 \in M$, la pareja $(7, 3)$ es parte de la relación.
• Para $y = 5$, $x = 2(5) + 1 = 11$. Como $11 \in M$, la pareja $(11, 5)$ es parte de la relación.
• Para $y = 7$, $x = 2(7) + 1 = 15$. Como $15 \notin M$, no hay pareja.
• Para $y = 9$, $x = 2(9) + 1 = 19$. Como $19 \notin M$, no hay pareja.
• Para $y = 11$, $x = 2(11) + 1 = 23$. Como $23 \notin M$, no hay pareja.

Por lo tanto, la relación $R$ es:

$R = \{(7, 3), (11, 5)\}$

C. Dominio, codominio y rango de la relación

1. Dominio: El dominio de la relación $R$ es el conjunto de los valores de $x$ que aparecen en las parejas de la relación. En este caso, son los primeros elementos de las parejas:

   $\text{Dominio} = \{7, 11\}$

2. Codominio: El codominio es el conjunto $O$ completo, ya que estamos considerando todas las posibles $y$ de $O$ para verificar si cumplen la relación.

   $\text{Codominio} = O = \{3, 5, 7, 9, 11\}$

3. Rango: El rango de la relación es el conjunto de los valores de $y$ que efectivamente aparecen en las parejas de la relación. En este caso, son los segundos elementos de las parejas:

   $\text{Rango} = \{3, 5\}$

Resumen Final:

• Extensión de los conjuntos:

  • $M = \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13\}$
  • $O = \{3, 5, 7, 9, 11\}$

• Relación $R$: $R = \{(7, 3), (11, 5)\}$

• Dominio: $\{7, 11\}$

• Codominio: $\{3, 5, 7, 9, 11\}$

• Rango: $\{3, 5\}$

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre el procedimiento?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para practicar más:

1. ¿Cómo se define una relación matemática entre dos conjuntos?
2. ¿Qué diferencia hay entre dominio y rango en una relación?
3. ¿Qué ocurre si no hay valores que satisfacen una relación en un conjunto?
4. ¿Cómo puedes graficar una relación $R$ entre dos conjuntos?
5. ¿Cómo afectaría el cambio de $O$ si $n$ tomara otros valores?

Tip: Siempre que trabajes con relaciones, empieza identificando correctamente los elementos de los conjuntos para que puedas aplicar las condiciones dadas.