Tehtävässä pyydetään osoittamaan, että äärellisille joukoille $A$ ja $B$:

$\#(A \cup B) = \#A + \#B - \#(A \cap B)$

Missä $\#(X)$ tarkoittaa joukon $X$ alkioiden lukumäärää (eli joukon kardinaliteettia).

Ratkaisu:

Tämä kaava tunnetaan nimellä yhdisteen kardinaliteettikaava ja se voidaan johtaa seuraavasti:

1. Joukon $A \cup B$ määritelmä:
   Yhdiste $A \cup B$ koostuu kaikista alkioista, jotka kuuluvat joko joukkoon $A$ tai joukkoon $B$ (tai molempiin).

2. Alkioiden jakaminen:
   Lasketaan $\#(A \cup B)$ eli $A \cup B$-joukon alkiot.
   Voimme jakaa nämä alkiot kolmeen osaan:

   • Alkioita, jotka ovat vain joukossa $A$.
   • Alkioita, jotka ovat vain joukossa $B$.
   • Alkioita, jotka ovat sekä joukossa $A$ että joukossa $B$ (eli $A \cap B$).

3. Alkioiden laskeminen:

   • Alkioiden määrä, jotka ovat vain joukossa $A$, on $\#A - \#(A \cap B)$.
   • Alkioiden määrä, jotka ovat vain joukossa $B$, on $\#B - \#(A \cap B)$.
   • Alkioiden määrä, jotka ovat sekä $A$-ssä että $B$-ssä (eli $A \cap B$), on $\#(A \cap B)$.

4. Yhteenlaskeminen: Näin ollen $A \cup B$-joukon alkiot ovat: $\#(A \cup B) = (\#A - \#(A \cap B)) + (\#B - \#(A \cap B)) + \#(A \cap B)$

   Yksinkertaistetaan: $\#(A \cup B) = \#A + \#B - \#(A \cap B)$

Täten kaava on osoitettu.

---

Haluatko, että selitän tämän tarkemmin, tai onko jotain, mihin haluaisit palata?
Tässä muutama jatkokysymys aiheeseen liittyen:

1. Mikä on ero äärellisten ja äärettömien joukkojen välillä tämän kaavan soveltamisessa?
2. Mitä tarkoittaa joukon $A \cap B$ kardinaliteetti?
3. Miten tätä kaavaa voi käyttää todistuksessa komplementin kanssa?
4. Miten tämä kaava liittyy inkluusion ja ekskluusion periaatteeseen?
5. Miten voimme soveltaa tätä kaavaa ongelmaan, jossa joukkojen $A$ ja $B$ kardinaliteetti ei ole vielä tiedossa?

Vinkki: Joskus tämän kaavan ymmärtäminen voi helpottua piirtämällä Vennin diagrammi, jossa näkyy, miten alkiot jakautuvat eri osiin.