Rozwiązanie będzie przedstawione krok po kroku. Wzór to:

$a_n = \frac{4(n-1)}{5n-1}$

a) Obliczenie 10 pierwszych elementów ciągu

Obliczamy $a_n$ dla $n = 1, 2, 3, \dots, 10$:

1. $a_1 = \frac{4(1-1)}{5(1)-1} = \frac{0}{4} = 0$
2. $a_2 = \frac{4(2-1)}{5(2)-1} = \frac{4}{9}$
3. $a_3 = \frac{4(3-1)}{5(3)-1} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$
4. $a_4 = \frac{4(4-1)}{5(4)-1} = \frac{12}{19}$
5. $a_5 = \frac{4(5-1)}{5(5)-1} = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$
6. $a_6 = \frac{4(6-1)}{5(6)-1} = \frac{20}{29}$
7. $a_7 = \frac{4(7-1)}{5(7)-1} = \frac{24}{34} = \frac{12}{17}$
8. $a_8 = \frac{4(8-1)}{5(8)-1} = \frac{28}{39}$
9. $a_9 = \frac{4(9-1)}{5(9)-1} = \frac{32}{44} = \frac{8}{11}$
10. $a_{10} = \frac{4(10-1)}{5(10)-1} = \frac{36}{49}$

Pierwsze 10 elementów to: $a_1 = 0, \quad a_2 = \frac{4}{9}, \quad a_3 = \frac{4}{7}, \quad a_4 = \frac{12}{19}, \quad a_5 = \frac{2}{3}, \quad a_6 = \frac{20}{29}, \quad a_7 = \frac{12}{17}, \quad a_8 = \frac{28}{39}, \quad a_9 = \frac{8}{11}, \quad a_{10} = \frac{36}{49}.$

---

b) Obliczenie wartości dla $n = 20, 100, 399, 449$

1. $a_{20} = \frac{4(20-1)}{5(20)-1} = \frac{4 \cdot 19}{99} = \frac{76}{99}$
2. $a_{100} = \frac{4(100-1)}{5(100)-1} = \frac{4 \cdot 99}{499} = \frac{396}{499}$
3. $a_{399} = \frac{4(399-1)}{5(399)-1} = \frac{4 \cdot 398}{1994} = \frac{1592}{1994} = \frac{796}{997}$
4. $a_{449} = \frac{4(449-1)}{5(449)-1} = \frac{4 \cdot 448}{2244} = \frac{1792}{2244} = \frac{896}{1122} = \frac{448}{561}$

Wartości to: $a_{20} = \frac{76}{99}, \quad a_{100} = \frac{396}{499}, \quad a_{399} = \frac{796}{997}, \quad a_{449} = \frac{448}{561}.$

---

c) Lista kroków do rozwiązania

1. Zrozumienie wzoru: Wzór to $a_n = \frac{4(n-1)}{5n-1}$. Wyznaczamy wartości $n$, podstawiamy je do wzoru i upraszczamy ułamki.

2. Obliczenie pierwszych 10 elementów: Podstawiamy $n = 1, 2, 3, \dots, 10$ do wzoru i obliczamy $a_n$.

3. Obliczenie dla $n = 20, 100, 399, 449$: Dla każdego z podanych $n$, obliczamy $a_n$, stosując wzór i upraszczając wyniki.

4. Upraszczanie ułamków: W miarę możliwości sprowadzamy ułamki do najprostszej postaci.

5. Weryfikacja poprawności: Sprawdzamy poprawność obliczeń, upewniając się, że podstawienia i uproszczenia są poprawne.

---

Czy chcesz szczegóły dla któregoś z kroków? 😊

Pytania do przemyślenia:

1. Jak wzór zachowuje się dla dużych wartości $n$?
2. Czy można uprościć wzór na $a_n$, aby uzyskać intuicyjną zależność?
3. Jakie są granice ciągu, gdy $n$ dąży do nieskończoności?
4. Czy ciąg jest monotoniczny? Jeśli tak, dlaczego?
5. Jakie są praktyczne zastosowania tego typu wzorów?

Tip: Przy dużych $n$, licznik i mianownik we wzorze można przybliżyć, co pozwala na szybkie obliczenie granicy.