https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17270753370845rqr0t9b.jpg

Persamaan diferensial yang diberikan adalah:

\[
x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 3x \frac{dy}{dx} - 3y = x^3
\]

Ini merupakan persamaan diferensial orde kedua. Untuk menyelesaikannya, langkah-langkah rinci yang perlu dilakukan adalah sebagai berikut:

### 1. Menyusun Persamaan Homogen
Persamaan homogen didapat dengan menghilangkan ruas kanan (sama dengan nol):

\[
x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 3x \frac{dy}{dx} - 3y = 0
\]

Ini adalah persamaan diferensial homogen linear dengan koefisien variabel.

### 2. Menggunakan Metode Cauchy-Euler
Karena ini adalah persamaan diferensial dengan bentuk Cauchy-Euler (koefisien berupa fungsi pangkat dari \( x \)), kita asumsikan solusi berbentuk:

\[
y_h = x^m
\]

Substitusi \( y = x^m \) ke dalam persamaan homogen:

\[
x^2 \cdot m(m-1)x^{m-2} + 3x \cdot mx^{m-1} - 3x^m = 0
\]

Sederhanakan:

\[
m(m-1) + 3m - 3 = 0
\]

\[
m^2 + 2m - 3 = 0
\]

Ini adalah persamaan kuadrat. Kita selesaikan:

\[
m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}
\]

Sehingga nilai \( m \) adalah:

\[
m_1 = 1, \quad m_2 = -3
\]

Solusi umum dari persamaan homogen adalah:

\[
y_h = c_1 x^1 + c_2 x^{-3} = c_1 x + c_2 x^{-3}
\]

### 3. Solusi Khusus dengan Metode Variasi Parameter atau Tebakan
Untuk menyelesaikan persamaan non-homogen \( x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 3x \frac{dy}{dx} - 3y = x^3 \), kita cari solusi khusus. Tebakan yang umum digunakan adalah bentuk polinomial. Karena ruas kanan adalah \( x^3 \), kita asumsikan solusi khusus berbentuk:

\[
y_p = Ax^3
\]

Substitusi ke persamaan diferensial:

\[
x^2 \cdot 6Ax + 3x \cdot 3Ax^2 - 3Ax^3 = x^3
\]

Sederhanakan:

\[
6Ax^3 + 9Ax^3 - 3Ax^3 = x^3
\]

\[
(6A + 9A - 3A)x^3 = x^3
\]

\[
12A = 1
\]

\[
A = \frac{1}{12}
\]

Jadi solusi khususnya adalah:

\[
y_p = \frac{1}{12}x^3
\]

### 4. Solusi Umum
Solusi umum dari persamaan diferensial adalah penjumlahan solusi homogen dan solusi khusus:

\[
y = y_h + y_p = c_1 x + c_2 x^{-3} + \frac{1}{12}x^3
\]

### 5. Menyelesaikan Konstanta (Jika Ada Kondisi Awal)
Jika ada kondisi awal, kita substitusi untuk menentukan nilai \( c_1 \) dan \( c_2 \). Jika tidak ada, solusi di atas adalah solusi umum.

---

Apakah ada langkah yang perlu diperjelas? Jika iya, saya bisa memberikan lebih banyak penjelasan.

Berikut beberapa pertanyaan yang terkait:
1. Bagaimana cara lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini selain menggunakan metode Cauchy-Euler?
2. Apa yang dimaksud dengan solusi homogen dalam konteks persamaan diferensial?
3. Bagaimana kita bisa menentukan solusi khusus untuk persamaan diferensial non-homogen?
4. Apakah ada metode lain selain tebakan polinomial untuk mendapatkan solusi khusus?
5. Bagaimana penggunaan kondisi awal memengaruhi solusi dari persamaan diferensial ini?

**Tip:** Metode Cauchy-Euler cocok digunakan pada persamaan diferensial dengan koefisien berupa fungsi pangkat dari variabel independen.

Solve the differential equation x^2 (d^2y/dx^2) + 3x (dy/dx) - 3y = x^3.

Learn how to solve the second-order linear differential equation x^2 (d^2y/dx^2) + 3x (dy/dx) - 3y = x^3 using the Cauchy-Euler method. This step-by-step solution covers solving the homogeneous equation, finding particular solutions, and applying the quadratic formula.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation