Persamaan diferensial yang diberikan adalah:

$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 3x \frac{dy}{dx} - 3y = x^3$

Ini merupakan persamaan diferensial orde kedua. Untuk menyelesaikannya, langkah-langkah rinci yang perlu dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menyusun Persamaan Homogen

Persamaan homogen didapat dengan menghilangkan ruas kanan (sama dengan nol):

$x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 3x \frac{dy}{dx} - 3y = 0$

Ini adalah persamaan diferensial homogen linear dengan koefisien variabel.

2. Menggunakan Metode Cauchy-Euler

Karena ini adalah persamaan diferensial dengan bentuk Cauchy-Euler (koefisien berupa fungsi pangkat dari $x$), kita asumsikan solusi berbentuk:

$y_h = x^m$

Substitusi $y = x^m$ ke dalam persamaan homogen:

$x^2 \cdot m(m-1)x^{m-2} + 3x \cdot mx^{m-1} - 3x^m = 0$

Sederhanakan:

$m(m-1) + 3m - 3 = 0$

$m^2 + 2m - 3 = 0$

Ini adalah persamaan kuadrat. Kita selesaikan:

$m = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$

Sehingga nilai $m$ adalah:

$m_1 = 1, \quad m_2 = -3$

Solusi umum dari persamaan homogen adalah:

$y_h = c_1 x^1 + c_2 x^{-3} = c_1 x + c_2 x^{-3}$

3. Solusi Khusus dengan Metode Variasi Parameter atau Tebakan

Untuk menyelesaikan persamaan non-homogen $x^2 \frac{d^2y}{dx^2} + 3x \frac{dy}{dx} - 3y = x^3$, kita cari solusi khusus. Tebakan yang umum digunakan adalah bentuk polinomial. Karena ruas kanan adalah $x^3$, kita asumsikan solusi khusus berbentuk:

$y_p = Ax^3$

Substitusi ke persamaan diferensial:

$x^2 \cdot 6Ax + 3x \cdot 3Ax^2 - 3Ax^3 = x^3$

Sederhanakan:

$6Ax^3 + 9Ax^3 - 3Ax^3 = x^3$

$(6A + 9A - 3A)x^3 = x^3$

$12A = 1$

$A = \frac{1}{12}$

Jadi solusi khususnya adalah:

$y_p = \frac{1}{12}x^3$

4. Solusi Umum

Solusi umum dari persamaan diferensial adalah penjumlahan solusi homogen dan solusi khusus:

$y = y_h + y_p = c_1 x + c_2 x^{-3} + \frac{1}{12}x^3$

5. Menyelesaikan Konstanta (Jika Ada Kondisi Awal)

Jika ada kondisi awal, kita substitusi untuk menentukan nilai $c_1$ dan $c_2$. Jika tidak ada, solusi di atas adalah solusi umum.

Apakah ada langkah yang perlu diperjelas? Jika iya, saya bisa memberikan lebih banyak penjelasan.

Berikut beberapa pertanyaan yang terkait:

1. Bagaimana cara lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial ini selain menggunakan metode Cauchy-Euler?
2. Apa yang dimaksud dengan solusi homogen dalam konteks persamaan diferensial?
3. Bagaimana kita bisa menentukan solusi khusus untuk persamaan diferensial non-homogen?
4. Apakah ada metode lain selain tebakan polinomial untuk mendapatkan solusi khusus?
5. Bagaimana penggunaan kondisi awal memengaruhi solusi dari persamaan diferensial ini?

Tip: Metode Cauchy-Euler cocok digunakan pada persamaan diferensial dengan koefisien berupa fungsi pangkat dari variabel independen.