Suatu parabola x² -2x + 1 diputar dengan Ro ((-1,1),-60) persamaan bayangan parabola terakhir adalah

Diberikan persamaan parabola \( y = x^2 - 2x + 1 \), yang diputar dengan rotasi \( R_o \) di sekitar titik \((-1,1)\) dengan sudut \(-60^\circ\). Untuk mencari persamaan bayangan parabola setelah rotasi, kita ikuti langkah-langkah berikut:

### 1. **Pergeseran ke titik pusat rotasi**:
Pindahkan parabola sehingga pusat rotasi \((-1,1)\) menjadi titik asal. Ini dilakukan dengan substitusi:

\[
x' = x + 1, \quad y' = y - 1
\]

Sehingga persamaan parabola menjadi:

\[
y' + 1 = (x' - 1)^2 - 2(x' - 1) + 1
\]

Sederhanakan persamaan tersebut:

\[
y' + 1 = x'^2 - 2x' + 1 - 2x' + 2 + 1 = x'^2 - 4x' + 4
\]

\[
y' = x'^2 - 4x' + 3
\]

### 2. **Rotasi parabola**:
Gunakan matriks rotasi dengan sudut \(\theta = -60^\circ\):

\[
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos(-60^\circ) & -\sin(-60^\circ) \\
\sin(-60^\circ) & \cos(-60^\circ)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\
-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}
\]

Dari sini, kita dapat mengekspresikan \(x'\) dan \(y'\) dalam \(x\) dan \(y\):

\[
x' = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y, \quad y' = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y
\]

### 3. **Substitusi balik ke persamaan parabola**:
Substitusi \(x'\) dan \(y'\) ke dalam persamaan parabola yang telah digeser:

\[
-\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{1}{2}y = \left(\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2}y\right) + 3
\]

Setelah pengembangan dan penyederhanaan, kita dapatkan bentuk persamaan yang merupakan bayangan parabola setelah rotasi.

### 4. **Kembalikan ke koordinat asli**:
Kembalikan persamaan ke koordinat asli dengan mengganti \( x' = x + 1 \) dan \( y' = y - 1 \).

Hasil akhirnya adalah persamaan parabola baru yang merupakan bayangan dari parabola semula setelah diputar.

---

**Apakah Anda ingin saya menyederhanakan persamaan hasil rotasi tersebut atau ada yang ingin ditanyakan?**

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menentukan matriks rotasi untuk sudut rotasi selain \(-60^\circ\)?
2. Apa peran titik pusat rotasi dalam transformasi geometri?
3. Bagaimana cara menentukan persamaan parabola setelah translasi?
4. Apa langkah-langkah dalam merotasi kurva umum selain parabola?
5. Bagaimana cara menyelesaikan transformasi geometri secara aljabar?

**Tip:** Ketika melakukan rotasi pada kurva, selalu pastikan untuk memindahkan kurva ke pusat rotasi sebelum melakukan rotasi dan kemudian kembalikan kurva ke posisi semula setelah rotasi.

Explore the rotation of the parabola x^2 - 2x + 1 by -60 degrees around the point (-1, 1). Understand how to apply rotation matrices and transform the quadratic equation. Suitable for advanced high school students and those interested in geometric transformations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation