Aby rozwiązać podpunkt b, który dotyczy wyznaczania pierwiastka równania $f(x) = 0$ przy użyciu metody Newtona, przeanalizujmy dane:

Mamy równanie: $f(x) = \sin(x^2) - x + \frac{1}{3} + 5 - N \cdot x^2$ Gdzie $N$ to ostatnia cyfra numeru indeksu. Do wyznaczania pierwiastków skorzystamy z metody Newtona.

1. Wyznaczanie pochodnych

Pierwsza pochodna:

$f'(x) = 2x \cos(x^2) - 1 - 2N \cdot x$

Druga pochodna:

$f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2) - 2N$

2. Algorytm Newtona

Metoda Newtona iteracyjnie poprawia wartość pierwiastka przybliżonego za pomocą wzoru: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ Kroki iteracyjne trwają do momentu osiągnięcia zadanej dokładności.

3. Oszacowanie przedziału

Zgodnie z zadaniem, aby wybrać przedział, w którym szukamy pierwiastka, najpierw należy wykonać wykres funkcji dla $x \in [-2, 2]$, aby oszacować przedział dla szukania pierwiastka najbliżej osi OY.

4. Implementacja algorytmu

Przykładowe kroki dla metody Newtona:

1. Wybieramy początkowe przybliżenie $x_0$.
2. Obliczamy wartość funkcji $f(x_0)$ oraz jej pochodnej $f'(x_0)$.
3. Korzystamy z wzoru iteracyjnego Newtona, aby poprawić przybliżenie.
4. Powtarzamy kroki aż do osiągnięcia zadowalającej dokładności.

Czy chcesz, abym wykonał pełne obliczenia dla konkretnego przykładu z wybraną wartością $N$?