https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/172765094694226q13nre.pdf

wykonaj tylko i wylacznie podpukt b , po polsku jak najwiecej obliczen

Aby rozwiązać podpunkt b, który dotyczy wyznaczania pierwiastka równania \( f(x) = 0 \) przy użyciu metody Newtona, przeanalizujmy dane:

Mamy równanie:
\[
f(x) = \sin(x^2) - x + \frac{1}{3} + 5 - N \cdot x^2
\]
Gdzie \( N \) to ostatnia cyfra numeru indeksu. Do wyznaczania pierwiastków skorzystamy z metody Newtona.

### 1. Wyznaczanie pochodnych
#### Pierwsza pochodna:
\[
f'(x) = 2x \cos(x^2) - 1 - 2N \cdot x
\]

#### Druga pochodna:
\[
f''(x) = 2\cos(x^2) - 4x^2 \sin(x^2) - 2N
\]

### 2. Algorytm Newtona
Metoda Newtona iteracyjnie poprawia wartość pierwiastka przybliżonego za pomocą wzoru:
\[
x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
\]
Kroki iteracyjne trwają do momentu osiągnięcia zadanej dokładności.

### 3. Oszacowanie przedziału
Zgodnie z zadaniem, aby wybrać przedział, w którym szukamy pierwiastka, najpierw należy wykonać wykres funkcji dla \( x \in [-2, 2] \), aby oszacować przedział dla szukania pierwiastka najbliżej osi OY.

### 4. Implementacja algorytmu

Przykładowe kroki dla metody Newtona:
1. Wybieramy początkowe przybliżenie \( x_0 \).
2. Obliczamy wartość funkcji \( f(x_0) \) oraz jej pochodnej \( f'(x_0) \).
3. Korzystamy z wzoru iteracyjnego Newtona, aby poprawić przybliżenie.
4. Powtarzamy kroki aż do osiągnięcia zadowalającej dokładności.

Czy chcesz, abym wykonał pełne obliczenia dla konkretnego przykładu z wybraną wartością \( N \)?

Learn how to solve the equation f(x) = sin(x^2) - x + 5 - N * x^2 using Newton's method. This problem involves calculating the first and second derivatives of the function and applying an iterative algorithm to find the root within a specified accuracy.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation