برای بازنویسی فرمول‌های تصویر اول براساس فرمول تصویر دوم، ابتدا باید ببینیم که چگونه اجزای فرمول‌ها با یکدیگر مرتبط هستند. فرمول اول توصیف‌کننده آنتروپی ترکیبی و بهره‌وری تقسیم‌بندی است، در حالی که فرمول دوم به محاسبه آنتروپی مخلوط توزیعی با استفاده از "آنتروپی کسری" می‌پردازد. حالا به تطبیق دو فرمول می‌پردازیم.

فرمول اولیه:

در فرمول اول، آنتروپی ترکیبی به صورت زیر تعریف شده است: $H^{(2)}(X) = p H(X|G=1) + (1-p) H(X|G=0),$ که در آن: $H(X|G=1) = -\int_{\mathbb{R}} f_1(x) \log f_1(x) dx,$ $H(X|G=0) = -\int_{\mathbb{R}} f_0(x) \log f_0(x) dx.$

فرمول بازنویسی بر اساس آنتروپی کسری (تصویر دوم):

فرمول آنتروپی مخلوط کسری به این شکل است: $H_\alpha(X) = -\int_{\mathbb{R}} \big(p f_1(x) + (1-p) f_0(x)\big) \log \big((p f_1(x) + (1-p) f_0(x))^\alpha \big) dx.$

بازنویسی:

برای بازنویسی $H^{(2)}(X)$، از تعریف فرمول کسری استفاده می‌کنیم. در اینجا:

1. توزیع مخلوط $f(x) = p f_1(x) + (1-p) f_0(x)$ است.
2. به جای محاسبه مستقیم آنتروپی $H(X|G=1)$ و $H(X|G=0)$، می‌توان این مقادیر را به شکل جزئی‌تر به صورت وزن‌دار بازنویسی کرد.

بنابراین فرمول بازنویسی‌شده $H^{(2)}(X)$ به شکل زیر خواهد بود: $H^{(2)}(X) = -\int_{\mathbb{R}} \big( p f_1(x) + (1-p) f_0(x) \big) \log \big( (p f_1(x) + (1-p) f_0(x)) \big) dx.$

این فرمول مشابه فرمول کسری $H_\alpha(X)$ خواهد بود، اما با $\alpha = 1$، زیرا آنتروپی کسری در فرمول دوم به عنوان تابعی از پارامتر $\alpha$ تعریف شده است. در نتیجه، اگر $\alpha = 1$، فرمول دوم به همان فرمول اول تبدیل می‌شود.

جمع‌بندی:

فرمول‌های تصویر اول را می‌توان براساس فرمول تصویر دوم به صورت زیر نوشت:

1. جایگذاری $f(x) = p f_1(x) + (1-p) f_0(x)$ برای توزیع ترکیبی.
2. تنظیم پارامتر کسری $\alpha = 1$ در فرمول دوم برای بازنویسی فرمول اول.
3. در نظر گرفتن آنتروپی کسری با تنظیم لاگاریتم طبیعی توزیع مخلوط.