Resuelve este límite racional : lim √ 4x+8 | x+9

Para resolver el límite \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sqrt{4x+8}}{x+9}\), podemos seguir estos pasos:

1. **Simplificación de la expresión:**
   
   Primero, observemos el comportamiento del numerador y el denominador para valores grandes de \(x\). Dado que estamos interesados en el límite cuando \(x\) tiende a infinito, los términos de menor grado en \(x\) se vuelven insignificantes en comparación con los términos de mayor grado.

   - Numerador: \(\sqrt{4x + 8}\).
   - Denominador: \(x + 9\).

   Para simplificar, extraemos el factor dominante en \(x\) en ambas expresiones:
   
   - En el numerador: \(\sqrt{4x + 8} = \sqrt{4x(1 + \frac{2}{x})} = \sqrt{4x} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{x}} = 2\sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{x}}\).
   - En el denominador: \(x + 9 = x(1 + \frac{9}{x})\).

   La expresión simplificada es:
   \[
   \frac{\sqrt{4x + 8}}{x + 9} = \frac{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}{x(1 + \frac{9}{x})}.
   \]

2. **Simplificación adicional:**

   La fracción se puede simplificar:
   \[
   \frac{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{1 + \frac{2}{x}}}{x(1 + \frac{9}{x})} = \frac{2\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{x}}}{1 + \frac{9}{x}}.
   \]
   
   Sabemos que \(\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}}\), por lo tanto:
   \[
   \frac{2\sqrt{x}}{x} = \frac{2}{\sqrt{x}}.
   \]

   La expresión se convierte en:
   \[
   \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{x}}}{1 + \frac{9}{x}}.
   \]

3. **Evaluación del límite:**

   Ahora, evaluamos el límite cuando \(x\) tiende a infinito:
   
   - Cuando \(x \to \infty\), \(\frac{1}{\sqrt{x}} \to 0\).
   - También, \(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} \to \sqrt{1} = 1\) y \(1 + \frac{9}{x} \to 1\).

   Por lo tanto, el límite es:
   \[
   \lim_{{x \to \infty}} \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{1 + \frac{2}{x}}}{1 + \frac{9}{x}} = 2 \cdot 0 \cdot 1 = 0.
   \]

**Respuesta:** El límite es \(0\).

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¿Te gustaría más detalles sobre este cálculo o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para seguir practicando:

1. ¿Qué sucede con el límite si el numerador tiene un término de mayor grado que el denominador?
2. ¿Cómo cambiaría el límite si el término independiente del denominador fuera un número mucho mayor?
3. ¿Cómo resolverías el límite si el numerador fuera \(\sqrt{4x^2 + 8x}\) en lugar de \(\sqrt{4x + 8}\)?
4. ¿Qué técnicas podrías usar si el límite involucrara una función trigonométrica?
5. ¿Cómo afecta la presencia de una raíz cuadrada en el numerador al comportamiento del límite?

**Tip:** Cuando trabajas con límites que tienden al infinito, a menudo es útil factorizar o simplificar utilizando los términos de mayor grado para facilitar el análisis.

Learn how to solve the rational limit problem lim √(4x+8)/(x+9) using step-by-step simplification and evaluation methods. Understand the behavior of square roots and rational functions in limits as x approaches infinity. Suitable for advanced high school students.

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