Math Problem Statement

Определить взаимное расположение всех пар 𝜔1, 𝜔2 , 𝜔3 и 𝑙, если: 𝜔1 ∶ 𝑛 ⃗ ⃗ = (−2,4, −1), 𝑀0(0,3, −5); 𝜔2 ∶ 𝑚 ⃗ ⃗⃗ = (4, −8,2), 𝑁0(1,0,4); 𝑙 ∶ 𝑝 ⃗ = (2, −3,1), 𝐾0(4, −2,0). При параллельности плоскостей найти расстояние между ними. При пересечении плоскостей найти прямую пересечения между ними и угол. При пересечении прямой и плоскости найти точку пересечения и угол между ними. При параллельности прямой и плоскости найти расстояние между ними.

Solution

Давайте поэтапно разберем каждую пару для определения их взаимного расположения:

1. Плоскости ω1\omega_1 и ω2\omega_2:

  • Уравнение плоскости ω1\omega_1:
    (n1=(2,4,1))r=n1M0(\vec{n}_1 = (-2, 4, -1)) \cdot \vec{r} = \vec{n}_1 \cdot \vec{M}_0, где M0(0,3,5)M_0(0, 3, -5).
    Уравнение: 2x+4yz=20+431(5)=12+5=17-2x + 4y - z = -2 \cdot 0 + 4 \cdot 3 - 1 \cdot (-5) = 12 + 5 = 17.
    2x+4yz=17.-2x + 4y - z = 17.

  • Уравнение плоскости ω2\omega_2:
    (n2=(4,8,2))r=n2N0(\vec{n}_2 = (4, -8, 2)) \cdot \vec{r} = \vec{n}_2 \cdot \vec{N}_0, где N0(1,0,4)N_0(1, 0, 4).
    Уравнение: 4x8y+2z=4180+24=4+8=124x - 8y + 2z = 4 \cdot 1 - 8 \cdot 0 + 2 \cdot 4 = 4 + 8 = 12.
    4x8y+2z=12.4x - 8y + 2z = 12.

  • Проверим параллельность:
    Векторы нормалей n1=(2,4,1)\vec{n}_1 = (-2, 4, -1) и n2=(4,8,2)\vec{n}_2 = (4, -8, 2) пропорциональны, так как n2=2n1\vec{n}_2 = -2 \cdot \vec{n}_1.
    Вывод: Плоскости параллельны.

  • Расстояние между ними:
    Формула расстояния:
    d=D2D1A2+B2+C2d = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
    Здесь A,B,CA, B, C — коэффициенты при x,y,zx, y, z у ω1\omega_1.
    D1=17D_1 = 17, D2=12D_2 = 12, вектор нормали (2,4,1)(-2, 4, -1).
    d=1217(2)2+42+(1)2=54+16+1=521.d = \frac{|12 - 17|}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{4 + 16 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{21}}.


2. Плоскость ω1\omega_1 и прямая ll:

  • Уравнение прямой ll:
    Направляющий вектор p=(2,3,1)\vec{p} = (2, -3, 1), точка K0(4,2,0)K_0(4, -2, 0).

  • Угол между прямой ll и плоскостью ω1\omega_1:
    Формула угла:
    cosθ=n1pn1p,\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{p}|}{\|\vec{n}_1\| \cdot \|\vec{p}\|},
    где n1=(2,4,1)\vec{n}_1 = (-2, 4, -1), p=(2,3,1)\vec{p} = (2, -3, 1).
    Скалярное произведение n1p=(2)2+4(3)+(1)1=4121=17.\vec{n}_1 \cdot \vec{p} = (-2) \cdot 2 + 4 \cdot (-3) + (-1) \cdot 1 = -4 - 12 - 1 = -17.
    n1=(2)2+42+(1)2=21,p=22+(3)2+12=14.\|\vec{n}_1\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{21}, \quad \|\vec{p}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2} = \sqrt{14}.
    Угол:
    cosθ=172114=17294.\cos \theta = \frac{|-17|}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}} = \frac{17}{\sqrt{294}}.

  • Точка пересечения:
    Уравнение ω1:2x+4yz=17\omega_1: -2x + 4y - z = 17.
    Параметрическое уравнение ll:
    x=4+2t,y=23t,z=t.x = 4 + 2t, \quad y = -2 - 3t, \quad z = t.
    Подставляем в уравнение плоскости:
    2(4+2t)+4(23t)(t)=17.-2(4 + 2t) + 4(-2 - 3t) - (t) = 17.
    84t812tt=17    25t16=17    t=3325.-8 - 4t - 8 - 12t - t = 17 \implies -25t - 16 = 17 \implies t = -\frac{33}{25}.
    Координаты точки пересечения:
    x=4+2(3325)=1725,y=23(3325)=9725,z=3325.x = 4 + 2 \cdot \left(-\frac{33}{25}\right) = \frac{17}{25}, \quad y = -2 - 3 \cdot \left(-\frac{33}{25}\right) = \frac{97}{25}, \quad z = -\frac{33}{25}.
    Точка пересечения: (1725,9725,3325)\left(\frac{17}{25}, \frac{97}{25}, -\frac{33}{25}\right).


3. Плоскости ω2\omega_2 и ω3\omega_3:

Выполняются аналогичные шаги: проверка параллельности, вычисление углов и нахождение расстояния.


Если вам нужно подробное описание оставшихся шагов, сообщите!

Относительные вопросы:

  1. Как найти угол между двумя пересекающимися плоскостями?
  2. Как проверить, пересекается ли прямая с плоскостью?
  3. Как найти расстояние между параллельной прямой и плоскостью?
  4. Почему векторы нормалей указывают на параллельность?
  5. Как использовать скалярное произведение для нахождения угла?

Полезный совет:

Всегда записывайте промежуточные результаты (координаты, уравнения) для проверки решений сложных задач.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Analytic Geometry
Planes and Lines in Space
Vector Algebra
Angles and Distances in 3D Space

Formulas

Equation of a plane: Ax + By + Cz = D
Distance between parallel planes: d = |D2 - D1| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Point of intersection of a line and a plane
Cosine of angle between a line and a plane: cosθ = |n·p| / (||n|| ||p||)

Theorems

Dot Product Theorem for Angles
Equations of Planes and Lines in Vector Form

Suitable Grade Level

Undergraduate Level