e) a1 =
1
2
, an+1 =
n
n+an
, ∀n ∈ N cuál es an? el n base es 1?

Vamos a analizar la recurrencia y determinar el valor de \( a_n \).

Tienes la siguiente información:

- \( a_1 = \frac{1}{2} \)
- \( a_{n+1} = \frac{n}{n + a_n} \), para \( \forall n \in \mathbb{N} \).

**Paso 1:** Comenzamos a calcular los primeros términos de la secuencia utilizando la fórmula de recurrencia para identificar algún patrón.

- Para \( n = 1 \):
  \[
  a_2 = \frac{1}{1 + a_1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}
  \]

- Para \( n = 2 \):
  \[
  a_3 = \frac{2}{2 + a_2} = \frac{2}{2 + \frac{2}{3}} = \frac{2}{\frac{8}{3}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
  \]

- Para \( n = 3 \):
  \[
  a_4 = \frac{3}{3 + a_3} = \frac{3}{3 + \frac{3}{4}} = \frac{3}{\frac{15}{4}} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}
  \]

**Paso 2:** Observamos un patrón. Aparentemente, \( a_n = \frac{n}{n+1} \). Vamos a demostrarlo por **inducción matemática**.

### Base de la inducción:
Para \( n = 1 \), sabemos que:
\[
a_1 = \frac{1}{2}
\]
Esto es consistente con la fórmula propuesta \( a_n = \frac{n}{n+1} \) cuando \( n = 1 \).

### Paso inductivo:
Supongamos que \( a_n = \frac{n}{n+1} \) es cierta para algún \( n \in \mathbb{N} \). Demostremos que también es cierta para \( n+1 \).

Sabemos que:
\[
a_{n+1} = \frac{n}{n + a_n}
\]
Si suponemos que \( a_n = \frac{n}{n+1} \), entonces:
\[
a_{n+1} = \frac{n}{n + \frac{n}{n+1}} = \frac{n}{\frac{n(n+1) + n}{n+1}} = \frac{n}{\frac{n^2 + 2n}{n+1}} = \frac{n(n+1)}{n^2 + 2n} = \frac{n(n+1)}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n+2}
\]
Por lo tanto, se cumple la fórmula para \( a_{n+1} \).

### Conclusión:
La fórmula general para \( a_n \) es:
\[
a_n = \frac{n}{n+1}
\]

Sí, el valor base es \( a_1 = \frac{1}{2} \).

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplica la inducción matemática en otros tipos de secuencias?
2. ¿Qué relación tiene esta secuencia con el concepto de límites?
3. ¿Podría cambiar el patrón si el valor inicial de la secuencia fuera distinto?
4. ¿Cómo se comporta la secuencia \( a_n \) cuando \( n \) tiende a infinito?
5. ¿Cómo se representa una sucesión de recurrencia en una gráfica?

### Tip:
Siempre verifica patrones en secuencias utilizando los primeros términos antes de aplicar inducción matemática.

e) a1 = 1/2, an+1 = n/(n + an), ∀n ∈ N cuál es an? el n base es 1?

Analyze the recurrence relation a_{n+1} = n / (n + a_n) with a base value of a_1 = 1/2, and find the general form of the sequence. This step-by-step solution involves using recurrence relations, identifying patterns, and proving the result with mathematical induction.

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