正方形内嵌一个正方形，求这两个正方形面积的比例

我们假设大正方形的边长为 \( a \)，小正方形的边长为 \( b \)。两个正方形是内嵌的，这意味着小正方形的顶点与大正方形的边中点重合。

要确定这两个正方形的面积比例，我们需要找出 \( b \) 和 \( a \) 的关系。

### 计算过程：

1. 大正方形的对角线长度：
   \[
   \text{对角线} = a\sqrt{2}
   \]

2. 小正方形的对角线长度（同样等于大正方形的一边）：
   \[
   \text{对角线} = a
   \]

3. 小正方形边长 \( b \) 与其对角线之间的关系：
   \[
   b\sqrt{2} = a
   \]

4. 解出小正方形的边长 \( b \)：
   \[
   b = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
   \]

5. 现在计算面积的比例：
   \[
   \text{大正方形的面积} = a^2
   \]
   \[
   \text{小正方形的面积} = b^2 = \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{2}
   \]

6. 两个正方形面积的比例：
   \[
   \frac{\text{小正方形的面积}}{\text{大正方形的面积}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2}
   \]

因此，这两个正方形的面积比例为 \( \frac{1}{2} \)，即小正方形的面积是大正方形面积的一半。

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小提示：在数学中，理解公式的推导过程比记住公式本身更重要。

Explore the concept of nested squares and calculate the ratio of areas between a larger square and a smaller square nested within it. This problem involves key geometric concepts like similarity, the area formula of a square, and applications of the Pythagorean theorem. Suitable for Grades 7-9 students.

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