المسألة المطروحة تتعلق بحساب معدل تغيُّر الزاوية $\theta$ في مثلث تقع رؤوسه على محيط دائرة نصف قطرها $r$. كما نعلم، عندما تتحرك النقطة $B$ عكس عقارب الساعة، فإن معدل تغيُّر مساحة المثلث ($\frac{dA}{dt}$) مرتبط بتغير الزاوية $\theta$.

الحل:

1. معطيات المسألة:

   • نصف قطر الدائرة $r = r_0$ (حيث $r_0$ هو قيمة ثابتة معطاة).
   • معدل تغيُّر مساحة المثلث: $\frac{dA}{dt} = k$ (حيث $k$ قيمة معطاة).
   • نريد إيجاد معدل تغيُّر الزاوية $\theta$ بالنسبة للزمن، أي $\frac{d\theta}{dt}$، عندما تكون الزاوية $\theta$ معينة.

2. علاقة المساحة بالزاوية $\theta$: مساحة المثلث المرسوم داخل دائرة يمكن حسابها باستخدام العلاقة: $A = \frac{1}{2} r^2 \sin(\theta)$ حيث $A$ تمثل مساحة المثلث، و $r$ نصف قطر الدائرة، و $\theta$ هي الزاوية المحصورة بين النقطة $A$ والنقطة $C$.

3. معدل تغير المساحة: الآن يمكننا إيجاد مشتقة المساحة بالنسبة للزمن: $\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \cos(\theta) \cdot \frac{d\theta}{dt}$ وهنا نلاحظ أن معدل تغيُّر المساحة $\frac{dA}{dt}$ مرتبط مباشرة بمعدل تغيُّر الزاوية $\frac{d\theta}{dt}$.

4. حل المعادلة: بما أن $\frac{dA}{dt} = k$، نضع هذه القيمة في المعادلة: $k = \frac{1}{2} r^2 \cos(\theta) \cdot \frac{d\theta}{dt}$ نحل المعادلة لإيجاد $\frac{d\theta}{dt}$: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{2k}{r^2 \cos(\theta)}$

إذن، معدل تغيُّر الزاوية $\frac{d\theta}{dt}$ يعطى بالعلاقة: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{2k}{r^2 \cos(\theta)}$ حيث $k$ هو معدل تغير المساحة المعطى، و $r$ نصف قطر الدائرة.

الاستنتاج:

عند معرفة قيم $k$ و $r$ و $\theta$ (الزاوية المطلوبة)، يمكن حساب معدل تغيُّر الزاوية $\frac{d\theta}{dt}$ بسهولة.

هل تريد متابعة أو توضيح أي خطوة بالتفصيل؟

أسئلة إضافية للتفكير:

1. ماذا يحدث لمعدل تغيُّر الزاوية $\frac{d\theta}{dt}$ إذا كانت الزاوية $\theta = \frac{\pi}{2}$؟
2. كيف يؤثر نصف القطر $r$ على معدل تغيُّر الزاوية $\theta$؟
3. إذا كانت مساحة المثلث ثابتة، فما هو معدل تغيُّر الزاوية $\theta$؟
4. ماذا يحدث لمعدل تغيُّر الزاوية إذا كانت الزاوية $\theta = 0$؟
5. كيف يمكن تعديل العلاقة إذا تغير نصف القطر مع الزمن؟

نصيحة: لضمان دقة الحسابات، تأكد دائمًا من أن الوحدات المستخدمة متوافقة، وخاصة عند العمل مع المشتقات والزوايا.