�𝒃𝒂� مثلث تقع رؤوسه على محيط دائرة نصف قطرها (�𝒄𝟎𝟏�) ، إذا تحرَّكت النقطة (��) باتجاه
عكس عقارب الساعة ، وكان معدَّل تغيُّر مساحة المثلث (��/�𝒄𝟓�) ، جد معدَّل تغيُّر الزاوية (��) عندما
�� تكون الزاوية )

المسألة المطروحة تتعلق بحساب معدل تغيُّر الزاوية \(\theta\) في مثلث تقع رؤوسه على محيط دائرة نصف قطرها \( r \). كما نعلم، عندما تتحرك النقطة \( B \) عكس عقارب الساعة، فإن معدل تغيُّر مساحة المثلث (\(\frac{dA}{dt}\)) مرتبط بتغير الزاوية \(\theta\).

### الحل:

1. **معطيات المسألة:**
   - نصف قطر الدائرة \( r = r_0 \) (حيث \( r_0 \) هو قيمة ثابتة معطاة).
   - معدل تغيُّر مساحة المثلث: \(\frac{dA}{dt} = k\) (حيث \( k \) قيمة معطاة).
   - نريد إيجاد معدل تغيُّر الزاوية \(\theta\) بالنسبة للزمن، أي \(\frac{d\theta}{dt}\)، عندما تكون الزاوية \(\theta\) معينة.

2. **علاقة المساحة بالزاوية \(\theta\):**
   مساحة المثلث المرسوم داخل دائرة يمكن حسابها باستخدام العلاقة:
   \[
   A = \frac{1}{2} r^2 \sin(\theta)
   \]
   حيث \( A \) تمثل مساحة المثلث، و \( r \) نصف قطر الدائرة، و \(\theta\) هي الزاوية المحصورة بين النقطة \(A\) والنقطة \(C\).

3. **معدل تغير المساحة:**
   الآن يمكننا إيجاد مشتقة المساحة بالنسبة للزمن:
   \[
   \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \cos(\theta) \cdot \frac{d\theta}{dt}
   \]
   وهنا نلاحظ أن معدل تغيُّر المساحة \(\frac{dA}{dt}\) مرتبط مباشرة بمعدل تغيُّر الزاوية \(\frac{d\theta}{dt}\).

4. **حل المعادلة:**
   بما أن \(\frac{dA}{dt} = k\)، نضع هذه القيمة في المعادلة:
   \[
   k = \frac{1}{2} r^2 \cos(\theta) \cdot \frac{d\theta}{dt}
   \]
   نحل المعادلة لإيجاد \(\frac{d\theta}{dt}\):
   \[
   \frac{d\theta}{dt} = \frac{2k}{r^2 \cos(\theta)}
   \]

إذن، معدل تغيُّر الزاوية \(\frac{d\theta}{dt}\) يعطى بالعلاقة:
\[
\frac{d\theta}{dt} = \frac{2k}{r^2 \cos(\theta)}
\]
حيث \( k \) هو معدل تغير المساحة المعطى، و \( r \) نصف قطر الدائرة.

### الاستنتاج:
عند معرفة قيم \( k \) و \( r \) و \( \theta \) (الزاوية المطلوبة)، يمكن حساب معدل تغيُّر الزاوية \(\frac{d\theta}{dt}\) بسهولة.

هل تريد متابعة أو توضيح أي خطوة بالتفصيل؟

### أسئلة إضافية للتفكير:
1. ماذا يحدث لمعدل تغيُّر الزاوية \(\frac{d\theta}{dt}\) إذا كانت الزاوية \(\theta = \frac{\pi}{2}\)؟
2. كيف يؤثر نصف القطر \(r\) على معدل تغيُّر الزاوية \(\theta\)؟
3. إذا كانت مساحة المثلث ثابتة، فما هو معدل تغيُّر الزاوية \(\theta\)؟
4. ماذا يحدث لمعدل تغيُّر الزاوية إذا كانت الزاوية \( \theta = 0\)؟
5. كيف يمكن تعديل العلاقة إذا تغير نصف القطر مع الزمن؟

**نصيحة:** لضمان دقة الحسابات، تأكد دائمًا من أن الوحدات المستخدمة متوافقة، وخاصة عند العمل مع المشتقات والزوايا.

مثلث تقع رؤوسه على محيط دائرة نصف قطرها r0 ، إذا تحرَّكت النقطة (B) باتجاه عكس عقارب الساعة ، وكان معدَّل تغيُّر مساحة المثلث dA/dt ، جد معدَّل تغيُّر الزاوية (θ) عندما تكون الزاوية θ معينة.

Learn how to calculate the rate of change of angle (θ) in a triangle inscribed in a circle with radius r0, given the rate of change of the triangle's area. This problem explores geometric and trigonometric relationships, including the area of a triangle in a circle and the chain rule. Suitable for Grades 11-12 and early university students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation