Math Problem Statement

В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, сторона основания которой равна 2v2 см, а высота - 4 см. Найдите радиус шара. В ответ укажите радиус, умноженный на 2.

Solution

Для нахождения радиуса шара, в который вписана правильная четырёхугольная пирамида, мы воспользуемся следующим методом. Шар касается всех рёбер основания и вершины пирамиды. Для этого используем формулы, связывающие радиус шара с высотой пирамиды и её основания.

Шаги решения:

  1. Дано:

    • Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 222\sqrt{2} см.
    • Высота пирамиды h=4h = 4 см.
  2. Шаг 1. Найдём площадь основания: Основание пирамиды — это квадрат, у которого сторона равна 222\sqrt{2}. Площадь квадрата Sосн=a2=(22)2=8S_{\text{осн}} = a^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8 см².

  3. Шаг 2. Находим длину диагонали основания: Диагональ квадрата dd можно найти по формуле: d=a2=22×2=4 см.d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4 \text{ см}.

  4. Шаг 3. Используем формулу для радиуса шара, вписанного в пирамиду: Радиус шара RR можно выразить через высоту пирамиды и длину диагонали её основания. Формула для радиуса RR следующая: R=h2.R = \frac{h}{\sqrt{2}}. Подставляем значения: R=42=4×22=22.R = \frac{4}{\sqrt{2}} = 4 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}.

  5. Шаг 4. Найдём радиус, умноженный на 2: Теперь, согласно заданию, нужно найти значение радиуса, умноженного на 2: 2R=2×22=42 см.2R = 2 \times 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}.

Ответ: радиус шара, умноженный на 2, равен 424\sqrt{2} см.


Если вам нужно больше подробностей по этому решению или у вас есть вопросы, не стесняйтесь уточнить! Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

  1. Почему для правильной четырёхугольной пирамиды можно использовать формулу для радиуса шара через высоту и диагональ основания?
  2. Как изменится радиус шара, если высота пирамиды увеличится в два раза?
  3. Какие особенности у правильной четырёхугольной пирамиды, вписанной в шар?
  4. Как можно использовать аналогичные методы для нахождения радиуса шара для других фигур, например, для правильной трёхугольной пирамиды?
  5. Как найти радиус шара, вписанного в пирамиду с многоугольным основанием другой формы?

Совет: Чтобы лучше понять геометрические свойства тел, часто помогает создание их чертежа, где можно наглядно увидеть взаимосвязь элементов.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Geometry
Solid Geometry
Pyramids
Circles
Trigonometry

Formulas

Area of a square: S = a^2
Diagonal of a square: d = a√2
Radius of sphere inscribed in pyramid: R = h/√2

Theorems

Pyramids inscribed in spheres
Relationship between height and diagonal in pyramids

Suitable Grade Level

Grades 10-12