Давайте найдем радиус интервала и область сходимости для ряда:

$\sum_{n=1}^\infty 4^n x^{2n}.$

---

1. Представление общего члена:

Общий член ряда равен: $a_n = 4^n x^{2n}.$

Мы можем переписать его как: $a_n = (4x^2)^n.$

---

2. Критерий сходимости:

Для нахождения радиуса сходимости воспользуемся критерием Коши-Адамара, который гласит, что радиус сходимости $R$ определяется формулой: $\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}.$

Подставим $a_n = (4x^2)^n$: [ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|4x^2|^n} = |4x^2|. ]

Тогда: $\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |4x^2| = |4x^2|.$

Условие сходимости: $|4x^2| < 1.$

---

3. Решение для радиуса сходимости:

$|4x^2| < 1 \implies |x^2| < \frac{1}{4}.$

Это эквивалентно: $|x| < \frac{1}{2}.$

Отсюда радиус сходимости: $R = \frac{1}{2}.$

---

4. Интервал сходимости:

Интервал сходимости определяется как: $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}.$

Чтобы определить, сходится ли ряд на границах $x = \pm \frac{1}{2}$, подставим $x = \pm \frac{1}{2}$ в ряд:

1. Для $x = \frac{1}{2}$: $a_n = (4 \cdot (\frac{1}{2})^2)^n = 1^n = 1.$ Ряд $\sum 1$ расходится.

2. Для $x = -\frac{1}{2}$: $a_n = (4 \cdot (-\frac{1}{2})^2)^n = 1^n = 1.$ Ряд также расходится.

Таким образом, ряд расходится на границах интервала.

---

5. Итог:

• Радиус сходимости: $R = \frac{1}{2}$,
• Область сходимости (открытый интервал): $x \in \left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

---

Хотите, чтобы я подробно разобрал критерии или объяснил связь с другими свойствами ряда?

---

5 вопросов для дальнейшего обсуждения:

1. Как работает критерий Коши-Адамара для нахождения радиуса сходимости?
2. Что произойдет, если заменить $x^{2n}$ на $x^n$ в данном ряде?
3. Какие существуют другие критерии сходимости рядов?
4. Почему границы интервала требуют отдельной проверки?
5. Как применить данный подход для тригонометрических или других функций?

Совет:

При работе с рядами внимательно проверяйте поведение на границах интервала, так как они часто ведут к особым случаям.