Привет! Для того, чтобы привести квадратичную форму $-x^2 - y^2 - 2xy - 4x + 6y + 1 = 0$ к каноническому виду, нужно выполнить несколько шагов, включая ортогональное преобразование. Давайте пошагово разберёмся с этим:

1. Представление квадратичной формы

Начнём с того, что можно записать исходное уравнение в виде: $- x^2 - y^2 - 2xy - 4x + 6y + 1 = 0.$

Это можно разделить на квадратичную часть и линейные члены. Квадратичная часть включает выражения $x^2, y^2$ и $2xy$, а линейные члены — это $-4x$ и $6y$.

2. Преобразование в матричную форму

Перепишем квадратичную форму в матричном виде. Общий вид квадратичной формы: $Q(x, y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + F = 0.$

Для данной задачи:

• Коэффициент при $x^2$: $-1$,
• Коэффициент при $y^2$: $-1$,
• Коэффициент при $2xy$: $-2$,
• Линейные коэффициенты $-4x$ и $6y$.

Матричная запись будет: $Q(x, y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - 4x + 6y + 1 = 0.$

3. Приведение к каноническому виду

Для того, чтобы привести форму к каноническому виду, необходимо сделать ортогональное преобразование. Для этого найдём собственные значения и собственные векторы матрицы квадратичной формы.

Матрица квадратичной формы: $A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}.$

Найдём собственные значения этой матрицы. Для этого решим характеристическое уравнение: $\det(A - \lambda I) = 0 \quad \text{или} \quad \det \begin{pmatrix} -1 - \lambda & -1 \\ -1 & -1 - \lambda \end{pmatrix} = 0.$

Вычислим детерминант: $(-1-\lambda)(-1-\lambda) - (-1)(-1) = \lambda^2 + 2\lambda = 0.$ Решения этого уравнения: $\lambda = 0 \quad \text{или} \quad \lambda = -2.$

4. Ортогональные преобразования

Теперь найдём собственные векторы для каждого из собственных значений.

1. Для $\lambda = 0$: $A - 0I = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}.$ Решаем систему: $\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0.$ Получаем $v_1 = -v_2$, собственный вектор $v_1 = (1, -1)$.

2. Для $\lambda = -2$: $A + 2I = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}.$ Решаем систему: $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = 0.$ Получаем $v_1 = v_2$, собственный вектор $v_2 = (1, 1)$.

5. Подстановка новых переменных

Теперь, когда у нас есть собственные векторы, мы можем перейти к новым переменным $u$ и $v$ с помощью линейных преобразований: $\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.$ Это приведёт нас к новой системе координат, в которой квадратичная форма будет диагональной.

6. Итоговый результат

После подстановки получим новую квадратичную форму, которая примет вид: $-2u^2 + 2v^2 + \text{линейные члены}.$

Таким образом, мы пришли к каноническому виду квадратичной формы.

Если нужно больше пояснений или помощь с другими шагами, не стесняйтесь спросить!