Math Problem Statement

Vilka av följande påståenden är sanna?

A. Kvadratkomplettering är en metod som kan användas för att finna lösningar till andragradsekvationer. B. Om vi känner till rötterna till ett polynom så kan faktorsatsen användas för att faktorisera polynomet. C. Då rötterna till p(x)=ax^2+bx+c, där a\neq 0, 1, är x_0 och x_1 så är p(x)=a(x-x_0)(x-x_1). Tips: Notera att p(x)=aq(x) där q(x)=x^2+(b/a)x+c/a. D. När a\neq 0 så är lösningarna till ax^2 + bx + c=0 ekvivalenta med lösningarna till x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0.

Solution

Låt oss analysera varje påstående för sig.

A. Kvadratkomplettering är en metod som kan användas för att finna lösningar till andragradsekvationer.
Svar: Sant.
Kvadratkomplettering är en klassisk metod för att lösa andragradsekvationer. Genom att skriva om en andragradsekvation på formen ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 kan man omvandla den till en fullständig kvadrat och sedan lösa ekvationen.

B. Om vi känner till rötterna till ett polynom så kan faktorsatsen användas för att faktorisera polynomet.
Svar: Sant.
Faktorsatsen säger att om x=rx = r är en rot till ett polynom, så kan polynomet skrivas som (xr)(x - r) multiplicerat med ett annat polynom. Detta är användbart vid faktorisering när rötterna är kända.

C. Då rötterna till p(x)=ax2+bx+cp(x) = ax^2 + bx + c, där a0a \neq 0, är x0x_0 och x1x_1, så är p(x)=a(xx0)(xx1)p(x) = a(x - x_0)(x - x_1). Tips: Notera att p(x)=aq(x)p(x) = aq(x) där q(x)=x2+bax+caq(x) = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}.
Svar: Sant.
Om x0x_0 och x1x_1 är rötterna till ekvationen, kan polynomet faktoreras som a(xx0)(xx1)a(x - x_0)(x - x_1). Påståendet och den efterföljande tipset beskriver korrekt hur ett andragradspolynom kan skrivas utifrån dess rötter.

D. När a0a \neq 0 så är lösningarna till ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 ekvivalenta med lösningarna till x2+bax+ca=0x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0.
Svar: Sant.
Genom att dividera hela ekvationen ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 med aa (eftersom a0a \neq 0) får vi ekvationen x2+bax+ca=0x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0, som är ekvivalent med den ursprungliga ekvationen. Lösningarna förblir desamma.

Sammanfattning:

  • A: Sant
  • B: Sant
  • C: Sant
  • D: Sant

Alla påståenden är korrekta.

Har du några frågor eller vill du ha mer detaljer om något av påståendena?

Relaterade frågor:

  1. Hur används kvadratkomplettering för att lösa andragradsekvationer?
  2. Vad är skillnaden mellan faktorsatsen och nollproduktmetoden?
  3. Hur bestäms rötterna till en andragradsekvation om diskriminanten är negativ?
  4. Kan alla polynom faktoriseras med faktorsatsen?
  5. Hur kan man lösa en andragradsekvation med hjälp av formeln för rötterna?

Tips:

När du kvadratkompletterar, kom ihåg att du kan behöva lägga till och subtrahera samma term för att få en perfekt kvadrat.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
Quadratic Equations
Polynomial Factorization

Formulas

Quadratic equation: ax^2 + bx + c = 0
Factoring a quadratic: p(x) = a(x - x_0)(x - x_1)
Completing the square

Theorems

Factor Theorem
Quadratic Formula

Suitable Grade Level

Grades 9-12