Um diese Aufgabe zu lösen, gehen wir schrittweise vor:

1. Bezeichne die Seitenlänge des Quadrats:

   • Nenne die Seitenlänge des Quadrats $x$. Die Fläche des Quadrats ist dann $A_{\text{Quadrat}} = x^2$.

2. Verändere die Dimensionen:

   • Die Länge des Rechtecks wird verdoppelt, also $2x$.
   • Die Breite des Rechtecks wird um 5 cm verringert, also $x - 5$.

   Die Fläche des Rechtecks ist dann: $A_{\text{Rechteck}} = 2x \cdot (x - 5)$

3. Formuliere die Gleichung: Laut Aufgabenstellung ist die Fläche des Rechtecks um 24 cm² größer als die Fläche des Quadrats: $A_{\text{Rechteck}} = A_{\text{Quadrat}} + 24$ Setze die Flächenformeln ein: $2x \cdot (x - 5) = x^2 + 24$

4. Löse die Gleichung: Entfalte die linke Seite: $2x \cdot (x - 5) = 2x^2 - 10x$ Setze dies in die Gleichung ein: $2x^2 - 10x = x^2 + 24$ Bringe alle Terme auf eine Seite: $2x^2 - 10x - x^2 - 24 = 0$ Vereinfache: $x^2 - 10x - 24 = 0$ Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung: $x^2 - 10x - 24 = 0$

5. Löse die quadratische Gleichung: Verwende die Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel): $x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1}$ Berechne den Ausdruck unter der Wurzel: $x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$ $x = \frac{10 \pm \sqrt{196}}{2}$ $x = \frac{10 \pm 14}{2}$

   Es gibt zwei Lösungen: $x = \frac{10 + 14}{2} = 12 \quad \text{oder} \quad x = \frac{10 - 14}{2} = -2$

6. Verwerfe die negative Lösung: Da die Seitenlänge des Quadrats eine positive Zahl sein muss, bleibt nur $x = 12$.

Antwort:

Die Seitenlänge des Quadrats ist 12 cm.

Möchtest du eine genauere Erklärung oder gibt es noch Fragen zu diesem Thema?

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Weitere Fragen:

1. Wie kann man quadratische Gleichungen noch auflösen, außer mit der Mitternachtsformel?
2. Was passiert, wenn die Fläche des Rechtecks nicht um 24 cm², sondern um einen anderen Wert größer ist?
3. Wie verändert sich das Ergebnis, wenn statt der Breite des Rechtecks die Länge um einen bestimmten Wert verringert wird?
4. Warum muss die negative Lösung der quadratischen Gleichung verworfen werden?
5. Welche anderen geometrischen Figuren könnte man mit ähnlichen Problemen vergleichen?

Tipp:

Wenn du mit quadratischen Gleichungen arbeitest, versuche sie immer zuerst in eine vereinfachte Form zu bringen, bevor du eine Lösungsformel anwendest.