Misalnya, m dan 1 adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 4x - 5 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2m + n) dan (2n + m)

Diketahui \( m \) dan \( n \) adalah akar-akar persamaan kuadrat \( x^2 + 4x - 5 = 0 \). 

Menurut rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat:
- Jumlah akar-akar persamaan adalah \( m + n = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4 \)
- Hasil kali akar-akar persamaan adalah \( m \cdot n = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5 \)

Sekarang, kita akan menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah \( (2m + n) \) dan \( (2n + m) \).

### 1. Hitung jumlah akar-akar baru
Jumlah akar-akarnya adalah:
\[
(2m + n) + (2n + m) = 2m + n + 2n + m = 3m + 3n = 3(m + n)
\]
Karena \( m + n = -4 \), maka:
\[
3(m + n) = 3 \times (-4) = -12
\]
Jadi, jumlah akar-akar baru adalah \( -12 \).

### 2. Hitung hasil kali akar-akar baru
Hasil kali akar-akarnya adalah:
\[
(2m + n)(2n + m)
\]
Gunakan distribusi (perkalian dua suku):
\[
= 2m \cdot 2n + 2m \cdot m + n \cdot 2n + n \cdot m
= 4mn + 2m^2 + 2n^2 + mn
\]
Gabungkan suku-suku sejenis:
\[
= 5mn + 2m^2 + 2n^2
\]
Karena \( m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn \), kita substitusi nilai \( m + n = -4 \) dan \( mn = -5 \):
\[
m^2 + n^2 = (-4)^2 - 2(-5) = 16 + 10 = 26
\]
Sehingga, hasil kali akar-akarnya menjadi:
\[
5mn + 2(m^2 + n^2) = 5(-5) + 2(26) = -25 + 52 = 27
\]

### 3. Bentuk persamaan kuadrat baru
Persamaan kuadrat dengan jumlah akar \( -12 \) dan hasil kali akar \( 27 \) adalah:
\[
x^2 - (jumlah \, akar) \cdot x + (hasil \, kali \, akar) = 0
\]
Substitusi nilai-nilainya:
\[
x^2 - (-12)x + 27 = 0
\]
\[
x^2 + 12x + 27 = 0
\]

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya \( (2m + n) \) dan \( (2n + m) \) adalah:
\[
x^2 + 12x + 27 = 0
\]

Apakah penjelasan ini sudah jelas? Ingin saya jelaskan lebih lanjut?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menemukan akar-akar persamaan kuadrat?
2. Bagaimana rumus jumlah dan hasil kali akar digunakan dalam konteks lain?
3. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif?
4. Apa peran diskriminan dalam persamaan kuadrat?
5. Bagaimana cara memfaktorkan persamaan kuadrat dengan koefisien tertentu?

**Tip:** Ketika mencari akar persamaan kuadrat, selalu periksa diskriminan untuk mengetahui sifat akarnya (nyata atau imajiner).

Misalnya, m dan 1 adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + 4x - 5 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (2m + n) dan (2n + m).

Learn how to determine a new quadratic equation with roots (2m + n) and (2n + m) given the equation x² + 4x - 5 = 0. This problem explores algebraic concepts, including Vieta's formulas and properties of quadratic equations, suitable for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation