נתון לנו ריבוע $ABCD$ עם הנקודות $E$ ו-$F$ על הצלעות $AB$ ו-$CB$ בהתאמה. כמו כן, נתון כי $H$ היא נקודת החיתוך של $DE$ ו-$CF$, ו-$G$ היא נקודת החיתוך של המשך $CF$ עם המשך $AD$.

א. הוכחת דמיון בין המשולשים $CEH$ ו-$GFA$:

כדי להוכיח שמשולשים $CEH$ ו-$GFA$ דומים, נוכיח שקיימות שתי זוויות שוות בכל אחד מהמשולשים.

זוויות שוות:

1. זווית $CEH = GFA$:
   כיוון ש-$DE \parallel AB$ ו-$AB \parallel CF$ (כלומר, שניהם מקבילים זה לזה כי הם צלעות של ריבוע), נובע ש-$DE \parallel CF$.
   לכן, לפי תכונת הזוויות המתאימות, מתקיים:
   $\angle CEH = \angle GFA.$

2. זווית $EHC = FAG$:
   זוויות אלו הן זוויות נגדיות שנוצרות על ידי חיתוך שני ישרים ($DE$ ו-$CF$), ולכן הן שוות.
   $\angle EHC = \angle FAG.$

לפי תכונת הדמיון, אם יש לנו שתי זוויות שוות, המשולשים דומים. ולכן, המשולשים $CEH$ ו-$GFA$ דומים.

ב. מציאת היחס בין הצלעות $AG$ ל-$DA$ כאשר נתון ש-$FA = 1.5BF$:

כדי למצוא את היחס בין $AG$ ל-$DA$, נשתמש בעובדה שהמשולשים $CEH$ ו-$GFA$ דומים.

מכיוון שהמשולשים דומים, היחסים בין הצלעות המקבילות שלהם שווים, ולכן: $\frac{CE}{GF} = \frac{EH}{FA} = \frac{CH}{GA}.$

נתון גם ש-$FA = 1.5BF$, כלומר: $FA = \frac{3}{2}BF.$

נחשב את היחס בין $AG$ ל-$DA$:

היחס בין הצלעות המקבילות במשולשים הדומים $GFA$ ו-$CEH$ הוא: $\frac{GA}{DA} = \frac{FA}{BF} = \frac{3}{2}.$

כלומר, היחס בין הצלעות $AG$ ל-$DA$ הוא: $\frac{AG}{DA} = \frac{3}{2}.$

סיכום התשובות:

1. המשולשים $CEH$ ו-$GFA$ דומים.
2. היחס בין הצלעות $AG$ ל-$DA$ הוא $\frac{3}{2}$.

---

האם תרצה הסבר נוסף על חלק מסוים?
הנה 5 שאלות המשך שיכולות להרחיב את ההבנה:

1. כיצד נוכל להוכיח שמשולשים דומים באמצעות משפטים נוספים?
2. איך נוכל לחשב שטחי המשולשים $CEH$ ו-$GFA$?
3. כיצד נוכל למצוא את מיקומה של נקודת החיתוך $H$?
4. איך נשווה בין אורכי הצלעות בריבוע כאשר יש נקודות חיתוך פנימיות?
5. מה המשמעות של דמיון המשולשים בהקשר לגיאומטריה של הריבוע?

טיפ: בעת הוכחת דמיון בין משולשים, חפשו תמיד זוויות שוות או יחסים שווים בין צלעות המקבילות.