برای اثبات قسمت (a)، باید نشان دهیم که مجموعه داده شده، یک مجموعه محدب است. مجموعه داده شده به صورت زیر است:

(a) اثبات کنید که مجموعه $\{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 5\}$ محدب است.

اثبات:

برای بررسی محدب بودن مجموعه $S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 5\}$، می‌خواهیم نشان دهیم که اگر دو نقطه دلخواه در این مجموعه باشند، خط واصل بین این دو نقطه نیز به طور کامل درون این مجموعه قرار دارد.

فرض کنید دو نقطه دلخواه $A = (x_1, y_1)$ و $B = (x_2, y_2)$ در مجموعه $S$ باشند. بنابراین داریم:

$x_1^2 + y_1^2 \leq 5 \quad \text{و} \quad x_2^2 + y_2^2 \leq 5$

حال می‌خواهیم اثبات کنیم که برای هر $\lambda \in [0, 1]$، نقطه‌ی میانی $\lambda A + (1 - \lambda) B = (\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2, \lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2)$ نیز در $S$ قرار دارد.

باید بررسی کنیم که:

$(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2)^2 + (\lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2)^2 \leq 5$

برای اثبات این رابطه، از نابرابری کوشی-شوارتز استفاده می‌کنیم. طبق این نابرابری، داریم:

$(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2)^2 \leq \lambda x_1^2 + (1 - \lambda) x_2^2$

و

$(\lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2)^2 \leq \lambda y_1^2 + (1 - \lambda) y_2^2$

بنابراین، مجموع این دو عبارت به صورت زیر خواهد بود:

$(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2)^2 + (\lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2)^2 \leq \lambda (x_1^2 + y_1^2) + (1 - \lambda) (x_2^2 + y_2^2)$

با توجه به اینکه $x_1^2 + y_1^2 \leq 5$ و $x_2^2 + y_2^2 \leq 5$، می‌توان نوشت:

$\lambda (x_1^2 + y_1^2) + (1 - \lambda) (x_2^2 + y_2^2) \leq \lambda \cdot 5 + (1 - \lambda) \cdot 5 = 5$

پس داریم:

$(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2)^2 + (\lambda y_1 + (1 - \lambda) y_2)^2 \leq 5$

بنابراین نقطه $\lambda A + (1 - \lambda) B$ در مجموعه $S$ قرار دارد.

نتیجه‌گیری:

از آنجایی که هر نقطه‌ی بین دو نقطه‌ی دلخواه مجموعه $S$ نیز در این مجموعه قرار دارد، مجموعه $S$ یک مجموعه محدب است.

آیا نیاز به توضیح بیشتری دارید یا سؤال دیگری در مورد این موضوع دارید؟ در ادامه تعدادی سؤال مرتبط ارائه شده است:

1. چگونه می‌توانیم محدب بودن یک مجموعه را به صورت کلی بررسی کنیم؟
2. آیا هر مجموعه‌ای که شامل یک ناحیه بسته باشد، محدب است؟
3. تفاوت میان مجموعه‌های محدب و غیرمحدب چیست؟
4. چطور می‌توان به صورت گرافیکی محدب بودن یک مجموعه را نشان داد؟
5. نابرابری کوشی-شوارتز در کجاهای دیگری در ریاضیات کاربرد دارد؟

نکته: یک مجموعه محدب همیشه شامل تمام نقاط بین هر دو نقطه‌ی دلخواه از آن مجموعه است.