Proposition :

Si $a \equiv b \pmod{m}$ et $c \equiv d \pmod{m}$, alors $a \times c \equiv b \times d \pmod{m}$.

Preuve :

1. Hypothèses :

   • $a \equiv b \pmod{m}$ signifie qu'il existe un entier $k_1$ tel que :
     $a - b = k_1 \times m$
   • $c \equiv d \pmod{m}$ signifie qu'il existe un entier $k_2$ tel que :
     $c - d = k_2 \times m$

2. Multiplication des congruences :

   • On va maintenant multiplier les deux congruences. D'abord, écrivons l'expression $a \times c$ et $b \times d$ : $a \times c = (b + k_1 \times m) \times (d + k_2 \times m)$ Développons cette expression : $a \times c = b \times d + b \times k_2 \times m + k_1 \times m \times d + k_1 \times k_2 \times m^2$ Or, tous les termes après $b \times d$ sont divisibles par $m$ :

     • $b \times k_2 \times m$ est divisible par $m$,
     • $k_1 \times m \times d$ est divisible par $m$,
     • $k_1 \times k_2 \times m^2$ est divisible par $m$.

     Par conséquent : $a \times c = b \times d + m \times (\text{termes divisibles par } m)$

3. Conclusion :

   • On peut maintenant conclure que : $a \times c \equiv b \times d \pmod{m}$ car la différence entre $a \times c$ et $b \times d$ est un multiple de $m$.

Résumé de la preuve :

On a utilisé la définition des congruences pour exprimer $a$ et $c$ sous la forme $a = b + k_1 \times m$ et $c = d + k_2 \times m$, puis on a multiplié ces deux équations. Après avoir développé et simplifié l'expression, on a montré que la différence $a \times c - b \times d$ est un multiple de $m$, ce qui prouve que $a \times c \equiv b \times d \pmod{m}$.

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Questions connexes :

1. Quelle est la signification géométrique d'une congruence modulo $m$ ?
2. Comment prouver une relation de congruence avec des puissances ?
3. Est-ce que cette propriété de multiplication est valable pour d'autres opérations (addition, soustraction, etc.) ?
4. Comment généraliser ce type de preuve à des congruences dans un anneau ?
5. Quelles sont les applications pratiques des congruences dans la cryptographie ?

Astuce : Pour travailler avec des congruences, il est souvent utile de les manipuler algébriquement en utilisant des propriétés comme la distributivité, ce qui peut simplifier la preuve de relations complexes.